Planck y Riemann

Tiempo de Planck

Es el tiempo que necesita el fotón (viajando a la velocidad de la luz, c, para moverse a través de una distancia igual a la longitud de Planck. Está dado por

segundos

donde G es la constante gravitacional (6’672 59 (85) ×10^-11 N m² kg^-2), ħ es la constante de Planck racionalizada (ħ = h/2π = 1’054589 × 10^-34 Julios segundo) y c es la velocidad de la luz (299.792.458 m/s).

El valor del tiempo del Planck es del orden de 10^-44 segundos. En la cosmología del Big Bang, hasta un tiempo T_p después del instante inicial, es necesaria usar una teoría cuántica de la gravedad para describir la evolución del universo.

Expresado en números corrientes que todos podamos entender, su valor es 0’000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.010. de 1 segundo, que es el tiempo que necesita el fotón para recorrer la longitud de Planck, de 10^-35 metros (veinte ordenes de magnitud menor que el tamaño del protón de 10^-15 metros). El límite de Planck es

Todo, desde Einstein, es relativo. Depende de la pregunta que se formule y de quién nos de la respuesta.

Si preguntamos ¿qué es el tiempo?, tendríamos que ser precisos y especificar si estamos preguntando por esa dimensión temporal que no deja de fluir desde el Big Bang y que nos acompaña a lo largo de nuestras vidas, o nos referimos al tiempo atómico, ese adoptado por el SI, cuya unidad es el segundo y se basa en las frecuencias atómicas, definida a partir de una línea espectral particular de átomo de cesio-133, o nos referimos a lo que se conoce como tiempo civil, tiempo coordinado, tiempo de crecimiento, tiempo de cruce, tiempo de integración, tiempo de relajación, tiempo dinámico o dinámico de Baricéntrico, dinámico terrestre, tiempo terrestre, tiempo de Efemérides, de huso horario, tiempo estándar, tiempo local, tiempo luz, tiempo medio, etc, etc. Cada una de estas versiones del tiempo tiene una respuesta diferente, ya que no es lo mismo el tiempo propio que el tiempo sidéreo o el tiempo solar, o solar aparente, o solar medio, o tiempo terrestre, o tiempo universal. Como se puede ver, la respuesta dependerá de cómo hagamos la pregunta.

En realidad, para todos nosotros el único tiempo que rige es el que tenemos a lo largo de nuestras vidas; los otros tiempos, son inventos del hombre para facilitar sus tareas de medida, de convivencia o de otras cuestiones técnicas o astronómicas pero, sin embargo, el tiempo es sólo uno; ese que comenzó cuando nació el universo y que finalizará cuando éste llegue a su final.

Lo cierto es que para las estrellas supermasivas, cuando llegan al final de su ciclo y dejan de brillar por agotamiento de su combustible nuclear, en ese preciso instante, el tiempo se agota para ella. Cuando una estrella pierde el equilibrio existente entre la energía termonuclear (que tiende a expandir la estrella) y la fuerza de gravedad (que tiende a comprimirla), al quedar sin oposición esta última, la estrella supermasiva se contrae aplastada bajo su propia masa. Queda comprimida hasta tal nivel que llega un momento que desaparece, para convertirse en un agujero negro, una singularidad, donde dejan de existir el “tiempo” y el espacio. A su alrededor nace un horizonte de sucesos, que si se traspasa se es engullido por la enorme gravedad del agujero negro.

El tiempo, de esta manera, deja de existir en estas regiones del universo que conocemos como singularidad. El mismo Big Bang surgió de una singularidad de energía y densidad infinitas que, al explotar, se expandió y creó el tiempo, el espacio y la materia.

Como contraposición a estas enormes densidades de las enanas blancas, estrellas de neutrones y agujeros negros, existen regiones del espacio que contienen menos galaxias que el promedio o incluso ninguna galaxia; a estas regiones las conocemos como vacío cósmico. Han sido detectados vacíos con menos de una décima de la densidad promedio del universo en escalas de hasta 200 millones de años luz en exploraciones a gran escala. Estas regiones son a menudo esféricas. El primer gran vacío en ser detectado fue el de Boötes en 1.981; tiene un radio de unos 180 millones de años luz y su centro se encuentra aproximadamente a 500 millones de años luz de la Vía Láctea. La existencia de grandes vacíos no es sorprendente, dada la existencia de cúmulos de galaxias y supercúmulos a escalas muy grandes.

Mientras que en estas regiones la materia es muy escasa, en una sola estrella de neutrones, si pudiéramos retirar 1 cm³ de su masa, obtendríamos una cantidad de materia increíble. Su densidad es de 10¹⁷ Kg/m³; los electrones y los protones están tan juntos que se combinan y forman neutrones que se degeneran haciendo estable la estrella de ese nombre que, después del agujero negro, es el objeto estelar más denso del universo.

Es interesante ver cómo a través de las matemáticas y la geometría, han sabido los humanos encontrar la forma de medir el mundo y encontrar las formas del universo. Pasando por Arquímedes, Pitágoras, Newton, Gauss o Riemann (entre otros), siempre hemos tratado de buscar las respuestas de las cosas por medio de las matemáticas.

“Magia es cualquier tecnología suficientemente avanzada”

Arthur C. Clarke

Pero también es magia el hecho de que en cualquier tiempo y lugar, de manera inesperada, aparezca una persona dotada de condiciones especiales que le permiten ver estructuras complejas matemáticas que hacen posible que la humanidad avance considerablemente a través de esos nuevos conceptos que nos permiten entrar en espacios antes cerrados, ampliando el horizonte de nuestro saber.

Recuerdo aquí uno de esos extraños casos que surgió el día 10 de Junio de 1.854 con el nacimiento de una nueva geometría: la teoría de dimensiones más altas que fue introducida cuando Georg Friedrich Bernhard Riemann dio su célebre conferencia en la facultad de la Universidad de Göttingen en Alemania. Aquello fue como abrir de golpe todas las ventanas cerradas durante 2.000 años de una lóbrega habitación que, de pronto, se ve inundada por la luz cegadora de un Sol radiante. Riemann regaló al mundo las sorprendentes propiedades del espacio multidimensional.

Su ensayo, de profunda importancia y elegancia excepcional, “sobre las hipótesis que subyacen en los fundamentos de la geometría” derribó pilares de la geometría clásica griega, que habían resistido con éxito todos los asaltos de los escépticos durante dos milenios. La vieja geometría de Euclides, en la cual todas las figuras geométricas son de dos o tres dimensiones, se venía abajo, mientras una nueva geometría riemanniana surgía de sus ruinas. La revolución riemanniana iba a tener grandes consecuencias para el futuro de las artes y las ciencias. En menos de tres decenios, la “misteriosa cuarta dimensión” influiría en la evolución del arte, la filosofía y la literatura en toda Europa. Antes de que hubieran pasado seis decenios a partir de la conferencia de Riemann, Einstein utilizaría la geometría riemanniana tetradimensional para explicar la creación del universo y su evolución mediante su asombrosa teoría de la relatividad general. Ciento treinta años después de su conferencia, los físicos utilizarían la geometría decadimensional para intentar unir todas las leyes del universo. El núcleo de la obra de Riemann era la comprensión de las leyes físicas mediante su simplificación al contemplarlas en espacios de más dimensiones.

Contradictoriamente, Riemann era la persona menos indicada para anunciar tan profunda y completa evolución en el pensamiento matemático y físico. Era huraño, solitario y sufría crisis nerviosas. De salud muy precaria que arruinó su vida en la miseria abyecta y la tuberculosis.

Riemann nació en 1.826 en Hannover, Alemania, segundo de los seis hijos de un pobre pastor luterano que trabajó y se esforzó como humilde predicador para alimentar a su numerosa familia que, mal alimentada, tendrían una delicada salud que les llevaría a una temprana muerte. La madre de Riemann también murió antes de que sus hijos hubieran crecido.

A edad muy temprana, Riemann mostraba ya los rasgos que le hicieron famoso: increíble capacidad de cálculo que era el contrapunto a su gran timidez y temor a expresarse en público. Terriblemente apocado era objeto de bromas de otros niños, lo que le hizo recogerse aún más en un mundo matemático intensamente privado que le salvaba del mundo hostil exterior.

Para complacer a su padre, Riemann se propuso hacerse estudiante de teología, obtener un puesto remunerado como pastor y ayudar a su familia.  En la escuela secundaria estudió la Biblia con intensidad, pero sus pensamientos volvían siempre a las matemáticas. Aprendía tan rápidamente que siempre estaba por delante de los conocimientos de sus instructores, que encontraron imposible mantenerse a su altura. Finalmente, el director de la escuela dio a Riemann un pesado libro para mantenerle ocupado. El libro era la Teoría de números de Adrien-Marie Legendre, una voluminosa obra maestra de 859 páginas, el tratado más avanzado del mundo sobre el difícil tema de la teoría de números. Riemann devoró el libro en seis días.

Cuando el director le preguntó: “¿hasta dónde has leído?“, el joven Riemann respondió: “este es un libro maravilloso. Ya me lo sé todo“.

Sin creerse realmente la afirmación de su pupilo, el director le planteó varios meses después cuestiones complejas sobre el contenido del libro, que Riemann respondió correctamente.

Con mil sacrificios, el padre de Riemann consiguió reunir los fondos necesarios para que a los 19 años pudiera acudir a la Universidad de Göttingen, donde encontró a Carl Friedrich Gauss, el aclamado por todos “Príncipe de las Matemáticas”, uno de los mayores matemáticos de todos los tiempos. Incluso hoy, si hacemos una selección por expertos para distinguir a los matemáticos más grandes de la Historia, aparecerá indudablemente Euclides, Arquímedes, Newton y Gauss.

Los estudios de Riemann no fueron un camino de rosas precisamente.  Alemania sacudida por disturbios, manifestaciones y levantamientos, fue reclutado en el cuerpo de estudiantes para proteger al rey en el palacio real de Berlín y sus estudios quedaron interrumpidos.

En aquel ambiente, el problema que captó el interés de Riemann fue el colapso que, según el pensaba, suponía la geometría euclidiana, que mantiene que el espacio es tridimensional y “plano” (en el espacio plano, la distancia más corta entre dos puntos es la línea recta; lo que descarta la posibilidad de que el espacio pueda estar curvado, como en una esfera).

Para Riemann, la geometría de Euclides era particularmente estéril cuando se la comparaba con la rica diversidad del mundo. En ninguna parte veía Riemann las figuras geométricas planas idealizadas por Euclides. Las montañas, las olas del mar, las nubes y los torbellinos no son círculos, triángulos o cuadrados perfectos, sino objetos curvos que se doblan y retuercen en una diversidad infinita. Riemann, ante aquella realidad, se rebeló contra la aparente precisión matemática de la geometría griega, cuyos fundamentos, descubrió él, estaban basados en definitiva sobre las arenas movedizas del sentido común y la intuición, no sobre el terreno firme de la lógica y la realidad del mundo.

Euclides nos habló de la obviedad de que un punto no tiene dimensión.  Una línea tiene una dimensión: longitud. Un plano tiene dos dimensiones: longitud y anchura. Un sólido tiene tres dimensiones: longitud, anchura y altura. Y allí se detiene. Nada tiene cuatro dimensiones, incluso Aristóteles afirmó que la cuarta dimensión era imposible. En Sobre el cielo, escribió: “La línea tiene magnitud en una dirección, el plano en dos direcciones, y el sólido en tres direcciones, y más allá de éstas no hay otra magnitud porque los tres son todas“. Además, en el año 150 d. C. el astrónomo Ptolomeo de Alejandría fue más allá de Aristóteles y ofreció, en su libro sobre la distancia, la primera “demostración” ingeniosa de que la cuarta dimensión es imposible.

En realidad, lo único que Ptolomeo demostraba era que era imposible visualizar la cuarta dimensión con nuestros cerebros tridimensionales (de hecho, hoy sabemos que muchos objetos matemáticos no pueden ser visualizados, aunque puede demostrarse que en realidad, existen). Ptolomeo puede pasar a la Historia como el hombre que se opuso a dos grandes ideas en la ciencia: el sistema solar heliocéntrico y la cuarta dimensión.

emilio silvera

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