¿Serán en verdad invariantes?

Las constantes fundamentales

Unas pueden ser más constantes naturales que otras, pero lo cierto es que, de momento, han servido como herramientas eficaces.

La última lección importante que aprendemos de la manera en que números puros como α (alfa) definen el mundo, es el verdadero significado de que los mundos sean diferentes. El número puro que llamamos constante de estructura fina, e indicamos con α, es como hemos dicho antes, una combinación de e, c y h (el electrón, la velocidad de la luz y la constante de Planck). Inicialmente, podríamos estar tentados a pensar que un mundo en el que la velocidad de la luz fuera más lenta sería un mundo diferente. Pero sería un error. Si e, h y c cambian de modo que los valores que tienen en unidades métricas (o cualesquiera otras) fueran diferentes cuando las buscamos en nuestras tablas de constantes físicas, pero el valor de α permaneciera igual; este nuevo mundo sería observacionalmente indistinguible de nuestro mundo. Lo único que cuenta en la definición del mundo son los valores de las constantes adimensionales de la naturaleza.

Fue Einstein el que anunció lo que se llamó principio de covariancia: que las leyes de la naturaleza deberían expresarse en una forma que pareciera la misma para todos los observadores, independientemente de dónde estuvieran situados y de cómo se estuvieran moviendo. Cuando trató de desarrollar este principio, Einstein tuvo dificultades; no encontraba la manera de expresarlo con la formulación matemática adecuada. Pidió ayuda a su amigo Marcel Grossmann, matemático, quien sabiendo de las necesidades exactas de Einstein, le envió la copia de una conferencia que dio un tal Riemann, unos sesenta años antes.

Einstein fue muy afortunado, ya que durante la última parte del siglo XIX en Alemania e Italia, matemáticos puros habían estado inmersos en el estudio profundo y detallado de todas las geometrías posibles sobre superficies curvas. Habían desarrollado un lenguaje matemático que automáticamente tenía la propiedad de que toda ecuación poseía una forma que se conservaba cuando las coordenadas que la describían se cambiaban de cualquier manera. Este lenguaje se denominaba cálculo tensorial. Tales cambios de coordenadas equivalen a preguntar qué tipo de ecuación vería alguien que se moviera de una manera diferente.

Einstein se quedó literalmente paralizado al leer la Conferencia de Riemann. Allí, delante de sus propios ojos tenía lo que Riemann denominaba Tensor métrico. Einstein se dio cuenta de que era exactamente lo que necesitaba para expresar de manera precisa y exacta sus ideas. Así llegó a ser posible la teoría de la relatividad general.

Einstein pudo expresar su principio de covariancia expresando sus leyes de la naturaleza como ecuaciones tensoriales, que poseían automáticamente la misma forma para todos los observadores.

Este paso de Einstein completó un movimiento espectacular en la concepción física de la naturaleza que ha sido completado en el siglo XX. Está marcado por una evolución que se aleja continuamente de cualquier visión privilegiada del mundo, sea una visión humana, basada en la Tierra, o una visión basada en patrones humanos, la naturaleza tiene sus propios patrones.

Está claro que pensar siquiera en que en nuestro universo, dependiendo de la región en la que nos encontremos, habrá distintos leyes físicas, sería pensar en un universo chapuza. Lo sensato es pensar como Einstein y creer que en cualquier parte del universo rigen las mismas leyes físicas, hasta que no se encuentre pruebas reales a favor de lo contrario, los científicos suponen con prudencia que, sea cual fueren las causas responsables de las pautas que llamamos “Leyes de la Naturaleza”, es mucho más inteligente adoptar la creencia de la igualdad física en cualquier parte de nuestro universo por muy remota que se encuentre; los elementos primordiales que lo formaron fueron siempre los mismos, quarks, leptones, hadrones, que interaccionan con las cuatro fuerzas fundamentales naturales.

Ahora sabemos que las fuerzas de la naturaleza, la fuerza nuclear fuerte, la fuerza nuclear débil, el electromagnetismo y la gravedad, no son tan diferentes como parece a primera vista. Parecen tener intensidades muy diferentes y actuar sobre partículas elementales diferentes. Pero eso es ilusorio, es la sensación creada por nuestra necesidad de habitar en un lugar del universo donde la temperatura es más bien baja y, es así, como se manifiestan las fuerzas de la naturaleza que, en dicha temperatura permite la existencia de átomos y moléculas.

Conforme la temperatura aumenta y las partículas elementales de materia colisionan entre sí a energías cada vez más altas, las fuerzas separadas que gobiernan nuestro mundo de baja temperatura, se hacen más parecidas. La fuerza fuerte se debilita, la fuerza débil aumenta y fortalece. Aparecen nuevas partículas a medida que se alcanzan temperaturas más elevadas y consiguen producir interacciones entre las familias separadas de partículas que a temperaturas bajas, parecen estar aisladas entre sí. Poco a poco, a medida que nos acercamos a esas inimaginables condiciones de temperatura “última” que Max Planck encontró definida por las cuatro constantes de la naturaleza, G, K, c, h, esperamos que las diferencias entre las fuerzas naturales se vayan borrando completamente para finalmente quedar unificadas en una única fuerza como, por otra parte, se cree que fue al principio de todo, cuando en el Big Bang, el proceso ocurrió al contrario. Había una increíble temperatura, un plasma primordial lo invadía todo y se expansionaba, naciendo el tiempo y el espacio cuando reinaba la simetría total y una sola fuerza lo regía todo. El universo continuó su expansión y comenzó a enfriarse, la simetría se rompió y lo que era una sola fuerza se dividió en las cuatro que ahora conocemos. Previamente, a partir del plasma, al bajar la temperatura, surgieron los quarks que se juntaron para formar protones y neutrones que, a su vez, se juntaron para formar núcleos que, al ser rodeados por los electrones atraídos por la carga positiva de los núcleos, formaron los átomos, que se unieron para formar moléculas, que se juntaron para formar la materia, que más tarde, dio lugar al nacimiento de las primeras estrellas y galaxias con sus variedades de objetos estelares, planetas, satélites, cometas, meteoritos, etc.

Todo lo grande está hecho de muchas cosas pequeñas.

Al final de la página 15 y siguientes de este trabajo, explicaba algunos detalles de alfa (a) y del número 137. En la literatura científica podemos encontrar todo tipo de coincidencias numéricas que involucran a los valores de las constantes de la naturaleza.

El valor experimental de la constante de estructura fina es:

1/a=137’085989561…

Pero muchos dieron su versión numérica, aquí están algunas:

Ni siquiera Heisemberg (el padre del principio de Incertidumbre de la Mecánica Cuántica) se pudo resistir a ironizar suponiendo que 1/α = 2⁴3³/ π pero en plan de broma.

De entre todos los que intentaron descubrir los misterios del 137, me detendré un momento en Arthur Eddington, uno de los más grandes astrofísicos del siglo XX, combinación de lo más profundo y lo fantástico. Más que cualquier otra figura moderna es el responsable de poner en marcha los inacabables intentos de explicar las constantes de la naturaleza por proezas de numerología pura. Él también advirtió un aspecto nuevo y espectacular de las constantes de la naturaleza.

Cuando los físicos empezaron a apreciar el papel de las constantes en el dominio cuántico y explotar la nueva teoría de la gravedad de Einstein para describir el universo en conjunto, las circunstancias eran las adecuadas para que alguien tratara de casarlas.

Así entró en escena Arthur Stanley Eddington: un extraordinario científico que había sido el primero en descubrir cómo se alimentaban las estrellas a partir de reacciones nucleares. También hizo importantes contribuciones a nuestra comprensión de las galaxias, escribió la primera exposición sistemática de la teoría de la relatividad general de Einstein y fue el responsable de la expedición que durante un eclipse de Sol, pudo confirmar con certeza la predicción de la relatividad general que debería desviar la luz estelar que venía hacia la Tierra en aproximadamente 1’75 segundos de arco cuando pasaba cerca de la superficie solar, cuyo espacio estaría curvado debido a la gravedad generada por la masa del Sol. En aquella expedición, el equipo de Eddington hizo una exitosa medición del fenómeno desde la isla Príncipe, que confirmó que Einstein tenía razón y que su teoría predecía de manera exacta la medida de curvatura del espacio en función de la masa del objeto estelar que genera la gravitación distorsionando el espaciotiempo a su alrededor.

Entre los números que Eddington consideraba de importancia primordial estaba al que ahora conocemos como número de Eddington, que es igual al número de protones en el universo visible. Eddington calculó (a mano) este número con enorme precisión en un crucero trasatlántico, concluyendo con esta memorable afirmación:

“Creo que en el Universo hay 15.747.724.136.275.002.577.605.653.961.181.555.468.044.
717.914.527.116.709.366.231.425.076.185.631.031.296 protones y el mismo número de electrones”.

Este número enorme, normalmente escrito N_Edd, es aproximadamente igual a 10⁸⁰. Lo que atrajo la atención de Eddington hacia él era el hecho de que debe ser un número entero, y por eso en principio puede ser calculado exactamente.

Durante la década de 1.920, cuando Eddington empezó su búsqueda para explicar las constantes de la naturaleza, no se conocían bien las fuerzas débil y fuerte de la naturaleza. Las únicas constantes dimensionales de la física que sí se conocían e interpretaban con confianza eran las que definían la gravedad y las fuerzas electromagnéticas. Eddington las dispuso en tres puros números adimensionales. Utilizando los valores experimentales de la época, tomó la razón entre las masas del protón y del electrón:

m_pr/m_e ≈ 1840

La inversa de la constante de estructura fina

2πhc/e² ≈ 137

Y la razón entre la fuerza gravitatoria y la fuerza electromagnética entre un electrón y un protón,

e²/Gm_pr m_e ≈ 10⁴⁰

A estas añadió su número cosmológico, N_Edd ≈ 10⁸⁰. A estos cuatro números los llamó “las constantes últimas”, y la explicación de sus valores era el mayor desafío de la ciencia teórica:

“¿Son estas cuatro constantes irreducibles, o una unificación posterior de la física que pueda demostrar que una o todas ellas podrían ser prescindibles? ¿Podrían haber sido diferentes de lo que realmente son?… Surge la pregunta de si las razones anteriores pueden ser asignadas arbitrariamente o si son inevitables. En el primer caso, sólo podemos aprender sus valores por medida; en el segundo caso es posible encontrarlos por la teoría… Creo que ahora domina ampliamente la opinión de que las (cuatro anteriores) constantes… no son arbitrarias, sino que finalmente se les encontrará una explicación teórica; aunque también he oído expresar lo contrario.”

Siguiendo con su especulación Eddington pensaba que el número de constantes inexplicadas era un indicio útil del hueco que había que cerrar antes de que se descubriese una teoría verdaderamente unificada de todas las fuerzas de la naturaleza. En cuanto a si esta teoría final contenía una constante o ninguna, tendríamos que esperar y ver:

“Nuestro conocimiento actual de 4 constantes en lugar de 1 indica meramente la cantidad de unificación de teoría que aún queda por conseguir. Quizá resulte que la constante que permanezca no sea arbitraria, pero de eso no tengo conocimiento.”

Eddington, como Max Planck, Einstein y Galileo, y Newton antes que ellos, era simplemente un adelantado a su tiempo; comprendía y veía cosas que sus coetáneos no podían percibir.

Hay una anécdota que se cuenta sobre esto y que ilustra la dificultad de muchos para reconciliar el trabajo de Eddington sobre las constantes fundamentales con sus monumentales contribuciones a la relatividad general y la astrofísica. La historia la contaba Sam Goudsmit referente a él mismo y al físico holandés Kramers:

“El gran Arthur Eddington dio una conferencia sobre su derivación de la constante de estructura fina a partir de una teoría fundamental. Goudsmit y Kramers estaban entre la audiencia. Goudsmit entendió poco pero reconoció que era un absurdo inverosímil. Kramers entendió mucho y reconoció que era un completo absurdo. Tras la discusión, Goudsmit se acercó a su viejo amigo y mentor Kramers y le preguntó: ¿Todos los físicos se vuelven locos cuando se hacen mayores? Tengo miedo. Kramers respondió, “No Sam, no tienes que asustarte. Un genio como Eddington quizá puede volverse loco pero un tipo como tú sólo se hace cada vez más tonto”.

“La historia es la ciencia de las cosas que no se repiten”.

Paul Valéry

El mayor misterio que rodea a los valores de las constantes de la naturaleza es sin duda la ubicuidad de algunos números enormes que aparecen en una variedad de consideraciones aparentemente inconexas. El número de Eddington es un ejemplo notable. El número total de protones que hay dentro del alcance del universo observable esta próximo al número

10⁸⁰

Si preguntamos ahora por la razón entre las intensidades de las fuerzas electromagnéticas y gravitatoria entre dos protones, la respuesta no depende de su separación, sino que es aproximadamente igual a

10⁴⁰

En un misterio. Es bastante habitual que los números puros que incluyen las constantes de la naturaleza difieran de 1 en un factor del orden de 10², ¡pero 10⁴⁰, y su cuadrado 10⁸⁰, es rarísimo! Y esto no es todo. Si seguimos a Max Planck y calculamos en valor estimado para la “acción” del universo observable en unidades fundamentales de Planck para la acción, obtenemos.

10¹²⁰

Ya hemos visto que Eddington se inclinaba a relacionar el número de partículas del universo observable con alguna cantidad que incluyera la constante cosmológica. Esta cantidad ha tenido una historia muy tranquila desde esa época, reemergiendo ocasionalmente cuando los cosmólogos teóricos necesitan encontrar una manera de acomodar nuevas observaciones incómodas. Recientemente se ha repetido este escenario. Nuevas observaciones de alcance y precisión sin precedentes, posibilitadas por el telescopio espacial Hubble trabajando en cooperación con telescopios sensibles en tierra, han detectado supernovas en galaxias muy lejanas. Su pauta de brillo y atenuación característica permite deducir su distancia a partir de su brillo aparente. Y, sorprendentemente, resulta que están alejándose de nosotros mucho más rápido de lo que cualquiera esperaba. La expansión del universo ha pasado de ser un estado de deceleración a uno de aceleración. Estas observaciones implican la existencia de una constante cosmológica positiva (Λ⁺). Si expresamos su valor numérico como número pero adimensional medido en unidades del cuadrado de la longitud de Planck, entonces obtenemos un número muy próximo a

10^-120

Nunca se ha encontrado un número más pequeño en una investigación física real.

¿Qué vamos a hacer con todos estos grandes números? ¿Hay algo cósmicamente significativo en 10⁴⁰ y sus cuadrados y cubos?

La aparición de algunos de estos grandes números ha sido una fuente de sorpresas desde que fue advertida por vez primera por Hermann Weyl en 1.919. Eddington había tratado de construir una teoría que hiciera comprensible su aparición, pero no logró convencer a un número significativo de cosmólogos de que estaba en la vía correcta. Pero sí convenció a la gente de que había algo que necesitaba explicación. De forma inesperada, fue precisamente uno de sus famosos vecinos de Cambridge quien escribió a la revista Nature la carta que consiguió avivar el interés por el problema con una idea que sigue siendo una posibilidad viable incluso hoy.

Paul Dirac ocupó la cátedra lucaciana de matemáticas en Cambridge durante parte del tiempo en que Eddington estuvo viviendo en los observatorios. Las historias que se cuentan de Paul Dirac dejan muy claro que era un tipo con un carácter peculiar, y ejercía de matemático las 24 h. del día. Se pudo saber que su inesperada incursión en los grandes números fue escrita durante su viaje de novios (Luna de miel), en febrero de 1.937.

Aunque no muy convencido de las explicaciones de Eddington, escribió que era muy poco probable que números adimensionales muy grandes, que toman valores como 10⁴⁰ y 10⁸⁰, sean accidentes independientes y no relacionados: debe existir alguna fórmula matemática no descubierta que liga las cantidades implicadas. Deben ser consecuencias más que coincidencias.

emilio silvera

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