¡De lo simple a lo complejo!

Energía de vacío y Agujeros Negros

Posiblemente el descubrimiento de las leyes de la Mecánica cuántica habría requerido más de un cuarto de siglo si la propia Naturaleza no hubiera ayudado, “regalándonos” la simplicidad del átomo de Hidrógeno. Su espectro tiene la regularidad necesaria que permitió a Bohr empezar a comprenderlo a partir de las embrionarias ideas de Planck y Einstein. El primero con su cuanto de acción, h y el segundo con su efecto fotoeléctrico que llevó la idea de Planck mucho más lejos. Si el átomo más elemental no constituyera un sencillo sistema “integrable” de dos cuerpos, la complejidad de su espectro hubiera retrasado el proceso hacia la física cuántica. Lo mismo podemos decir de la sencillez del sistema Sol planeta y del descubrimiento de las leyes de Kepler, que facilitaron enormemente el posterior descubrimiento de Newton de la ley de la Gravitación universal y la génesis de la ciencia moderna.

Por el contrario, la unificación de la mecánica cuántica con la gravitación, uno de los retos científicos fundamentales, no parece, a priori, que esté agraciada con la misma suerte. La escala natural en que la Gravedad y que la física cuántica se mirarían de igual a igual, viene dada por la longitud de Planck (omito fórmula) pero, esta resulta ser extraordinariamente pequeña = 10 exp. -35 m (veinte órdenes de magnitud menor  que el tamaño del protón) y, es la escala de longitud a la que la descripción clásica de la gravedad cesa de ser válida y debe ser tenida en cuenta la mecánica cuántica, precisamente por eso, es tan difícil el matrimonio entre ambas teorías.

El efecto físico más importante donde se combina la relatividad general y la mecánica cuántica es el que descubrió Hawking en 1974. Los agujeros negros, en la teoría puramente clásica de la relatividad de Einstein, se comportan como objetos que absorben materia pero que no permiten dejar escapar nada más allá del llamado, por eso mismo, horizonte de sucesos. Sin embargo, cuando la materia es tratada según la teoría cuántica, el agujero negro pasa a ser necesariamente emisor de radiación térmica.

Uno de los efectos físicos más importantes que surgen cuando la geometría del espacio se “distorsiona” es el llamado efecto Casimir. En 1948 Casimir, motivado por el estudio de las fuerzas de van der Walls, determinó la fuerza por unidad de área que se ejercen dos placas paralelas metálicas separadas por una pequeña distancia (omito fórmula).

Este efecto es interpretado como una manifestación de la existencia de una densidad de energía de vacío no nula debido al confinamiento del campo entre las dos placas. Aunque los valores promedio del campo sean nulos (Ø) no ocurre lo mismo con (ز) y, por tanto, con la densidad de energía. Si consideramos por simplicidad un campo escalar sin masa, la densidad de energía de vacío que se obtiene por comparación con la de espacio completo (sin placas), tiene un valor que está bien definido por una ecuación que no pondré aquí.

Para el campo electromagnético el resultado difiere en un factor 2, que da cuenta de sus dos posibles polarizaciones, y el resultado final conduce a la fuerza por unidad de área dada anteriormente. Experimentos en laboratorios han confirmado de manera significativa el efecto Casimir, a pesar de su pequeñez numérica: Fd⁴ ~ – 1,3 x 10 exp. -27 Nm². Sin embargo, su significación conceptual es extraordinaria. Una sencilla alteración del espacio tridimensional, que pasa de ser ilimitadamente euclideo, a estar confinado en la coordenada Z: 0 <Z<d, basta para distorsionar los modos del campo y definir un vacío cuántico con energía no nula.

Si cambiamos la geometría del confinamiento, la energía de vacío cambia y también lo haría si modificase la propia geometría local del espacio. Por otra parte, la Relatividad especial nos dice que el espacio y el tiempo están interrelacionado. Por tanto, es natural plantearse qué ocurre cuando, además de la distorsión del espacio, tenemos una situación física donde también se “distorsiona” el tiempo. Podemos imaginarnos una situación idealizada de este tipo cuando nuestra teoría es descrita por un observador uniformemente acelerado. En este caso el espacio-tiempo de Minkowski queda restringido de manera natural a la región causalmente accesible por el mencionado observador.

La situación descrita anteriormente (aunque me he comido las ecuaciones que lo explicaban) puede también reproducirse en un campo gravitatorio. Debido al principio de equivalencia, la “distorsión” del espacio-tiempo puede realizarse también en un campo gravitatorio. Como señaló Einstein en 1907, campos gravitatorios y aceleraciones son, en primera aproximación, equivalentes. Su razonamiento le induce a pensar que el efecto del campo gravitatorio sería distorsionar tanto la parte temporal como la parte espacial de la métrica de Minkowski. A finales de 1915 completa su teoría (la Relatividad General) consiguiendo encontrar las ecuaciones que dictan como debe modificarse la métrica de Minkowski en presencia de materia. A los pocos meses Schwarzschild consigue dar la solución exacta a la geometría del espacio-tiempo que genera, según la teoría de Einstein, un cuerpo esférico en el espacio vacío. Nuestro problema es saber como contribuye la “distorsión” del espacio-tiempo dada por la ecuación de Schwarzschild a la energía de vacío.

Como cabe esperar que el mayor efecto radique en un entorno del horizonte r_s =2 GM/c^2, nos interesa aproximar la métrica de Schwarzschild en esa superficie, expandiendo la métricas alrededor de de r = r_s y, por simplicidad, en el punto acimutal θ =0, en términos de las variables.

Meterse en algunas profundidades nos llevaría directamente al tedio del lector y, terminaré diciendo que el principio de equivalencia nos lleva a poder asimilar algunos aspectos del efecto Casimir y su energía de vacío con la distorsión del espacio-tiempo de la relatividad einsteniana y su caída libre, con las ecuaciones de Minkowski pasando por el efecto Hawking y, ¿agujeros negros en laboratorio? Un auténtico galimatías que, para el no versado se hace muy cuesta arriba entender.

Pero tal vez la Naturaleza nos sorprenda y nos ofrezca un regalo espectacular: que la escala de Planck esté realmente a la vuelta de la esquina y pueda ser alcanzable en los próximos aceleradores. El LHC del CERN conseguirá energías en el sistema centro de masas para la colisión protón-antiprotón de 14 TeV. Para que se forme un agujero negro sería necesario, en tosca aproximación, que el parámetro de impacto de los partones fuera menor que el radio de Schwarzschild correspondiente a la energía del hipotético agujero negro.

Obviamente, para la escala de Planck usual el radio de Schwarzschild correspondientes a energías del TeV es mucho menor que el parámetro de impacto. Sin embargo, la conjetura de Arkani-Hamed-Dimopoulos y Dvali (1998) es correcta y la escala de Planck se encuentra realmente en el TeV (debido a la existencia de dimensiones extras, que diluyen la Gravedad a grandes distancias), el LHC se convertiría en una verdadera factoría de mini agujeros negros (con energías próximas a 10 TeV). La temperatura Hawking que se alcanzaría sería del orden de 100 GeV. La evaporación de estos agujeros negros dejaría señales muy características. La desintegración sería de muy alta multiplicidad y muy isótropa, según los argumentos de Hawking. Si este escenario fuera factible, los agujeros negros pronto se convertirían, para la gravedad cuántica, en lo que fue el átomo de hidrógeno para el advenimiento de la mecánica cuántica.

¡Cuesta tan poco soñar!

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