El Hombre en el Universo

Amigo Floren;
Primero dejame darte las gracias por tus palabras, y si, hablando de Godel, llevas toda la razón, El padre de la lógiga que paradojicamente concluyó que la lógica no existe. Me encantaría poder comentar toda su historia aquella que quizas pocos saben, como también de Turing y Cantor, pero, quizas Emilio nos pueda ayudar.

Y dile a Vanessa que siga leyendo al respecto, se va a seguir encontrando con muchas novedades.

saludos.

Bueno, ciertamente, yo de matematicas sé bastante poco, sumar y restar se me dá medio bien, ya que practico todos los meses con la cartilla del banco, pero yá cuando tengo que multiplicar, me tengo que parar muchas veces a pensar, je,je, ()y no es broma)

pues como el amigo emilio anda liao, os cuelgo algunos parrafos, aunque algo salteados de lo que he encontrado de este hombre y que me parece bastante fascinante:

En teoría de conjuntos, el universo constructible, también denominado jerarquía constructible o universo constructible de Gödel y que se denota por L, es una clase de conjuntos que pueden ser descritos en términos de “conjuntos más simples”, los llamados conjuntos constructibles

Gödel le confesaría a un amigo íntimo que en el futuro sería considerado extraño que los científicos del siglo XX hubieran descubierto las partículas físicas elementales y no se les hubiera ocurrido considerar la posibilidad de factores psíquicos elementales. Gödel nunca compartió el positivismo recalcitrante del Círculo de Viena. Por el contrario, siempre fue un platónico convencido de que, además del mundo de los objetos, existe un mundo de conceptos al que los humanos tienen acceso por intuición. Gödel pensaba que el valor de verdad de un enunciado es independiente de que lo conozcamos. Además, sabía que dicha filosofía servía precisamente como excepcional auxiliar en el campo de las matemáticas. Georg Kreisel, un importante filósofo de las matemáticas, ha señalado como característica de la actitud filosófica gödeliana la búsqueda (llevada, sin duda, con gran éxito) de nuevas perspectivas y nuevos resultados mediante análisis de conceptos aparentemente imprecisos, lo cual configura una actitud fundamentalmente “platonista”.

Gödel, empleando el volumen 15 de su obra todavía sin publicar Arbeitshefte (Cuadernos de notas), descubrió una prueba de la independencia del axioma de elección de la teoría finita de tipos, una forma debilitada de la teoría de conjuntos
 Cantor por su parte había diseñado una teoría de conjuntos que pese a ser bastante atractiva, contaba con diversas paradojas. Estas surgían del fenómeno de la autorreferencia. Por lo tanto, eliminada la autorreferencia, eliminadas las paradojas.
 
El razonamiento matemático siempre se había hecho en lenguaje natural, lo que daba lugar a muchas ambigüedades. Russel y Whitehead, en sus Principia Mathematica, pretendieron derivar toda la matemática de la lógica, sin ningún tipo de contradicción. La obra fue aclamada por todos, si bien aún existía la duda de si toda la matemática estaba englobada en ellos y si se podían llegar a resultados distintos usando los mismos métodos.
Fue entonces cuando David Hilbert propuso a la comunidad matemática su reto: demostrar, siguiendo los principios de los Principia Mathematica, que el sistema definido en los mismos fuera coherente y además completo. En resumen, lo que Hilbert pretendía era que a partir de una porción de las matemáticas, demostrar la solidez del todo. Si esto llegaba a darse, podría considerarse toda demostración como un mero proceso mecánico, de tal modo que toda proposición de un sistema sería demostrable. Y aún en el caso de que existieran fallos en el sistema, la inclusión de nuevos axiomas podría subsanarlos.
 
En el año 1931, Gödel publicaba su artículo, que echaba por tierra el programa de Hilbert, pues demostraba no sólo que el sistema de Russel y Whitehead tenía fallos, sino que todo sistema axiomático los tendría. La publicación del que se conocería como el Teorema de Gödel supuso un duro golpe, pues en resumidas cuentas, demostraba que el hombre no podría alcanzar el conocimiento y la verdad absolutos.

Teorema de incompletitud

Antes de comenzar a hablar del teorema, se hace necesario explicar una serie de conceptos que ayudaran a una mejor comprensión del mismo.
En primer lugar debe saberse qué es una paradoja. Una paradoja es una proposición que se contradice a sí misma, una proposición incoherente. Un buen ejemplo de paradoja es la famosa frase de Sócrates “Sólo sé que no sé nada”. Obviamente, si no sabe nada, ya sabe algo, luego la proposición se contradice a sí misma. La contradicción de esta paradoja surge en el momento en que Sócrates hace referencia a si mismo. El teorema de Gödel tiene mucho que ver con proposiciones que hacen referencia a si mismas.
Otra paradoja bastante antigua es la conocida como “paradoja de Epiménides o del mentiroso” que decía “Los cretenses, siempre embusteros”. Como Epiménides era cretense podemos traducir la afirmación así: “Siempre miento. Nunca digo la verdad”. ¿Qué se puede inferir de esta paradoja? Si Epiménides siempre miente, dicha afirmación sería falsa, por lo tanto, no siempre miente y siempre dice la verdad. Pero si dice la verdad, la afirmación resultaría ser cierta, por lo tanto, siempre miente y nunca dice la verdad. Y así podríamos continuar hasta el infinito, sin llegar a nada concreto. De nuevo, la autorreferencia produce una paradoja.
Una variante de la paradoja de Epiménides es la siguiente: supongamos que nos encontramos con Epiménides y nos dice: “Esta aseveración es falsa”. ¿Dice la verdad o miente? Nuevamente la autorreferencia produce una paradoja. Siempre nos encontramos con la autorreferencia. Pensemos más detenidamente en este caso y démosle otro aspecto usando lenguaje matemático. Digamos que
B = [Esta aseveración no es verdad] = [B es falsa]
La pregunta es, ¿B es falsa o cierta? Son las dos únicas opciones. Vamos a analizarlas y ver que situaciones plantean. Supongamos que B es cierta. Si B es cierta, la aseveración “B es falsa” es verdadera. Vaya, nos encontramos ante una contradicción. ¿Qué tal si probamos con la otra opción? Vamos a suponer ahora que B es falsa. Si esto es así, nos encontramos con que la aseveración “B es falsa” no es verdad, luego podríamos decir que “B es cierta”, pero ¿no habíamos dicho que B era falsa? Una nueva contradicción.
Esta paradoja será muy útil para Gödel, quien sustituye la palabra “verdad” por “demostrable”. Gödel crea la proposición G, donde
G = [Esta aseveración no es demostrable] = [G es indemostrable]
Gödel nos dice que puede que G sea verdad, pero que no lo demostraremos nunca. Nos encontramos ante el hecho de que el hecho de que una proposición sea verdadera tiene más peso que el hecho de que sea demostrable
Todo sistema matemático que pueda construirse estará condenado a la incompletitud. Gödel ha mostrado que existen en matemáticas problemas sin solución que no pueden formalizarse en un sistema completo.
Los matemáticos saben ahora que su mayor objetivo, el de llegar a lo más profundo de las cosas es inalcanzable. Su objetivo como tal ni siquiera existe. Las matemáticas no poseen una realidad autosustentable independiente del hombre; y aunque existiera, nuestra esencia finita nos impediría formalizar su descripción en un sistema completo. Más aún, el conocimiento racional nunca podrá llegar a la verdad última del universo.
 
Gödel constituyó un duro golpe para esa concepción clásica, la naturaleza de la verdad matemática se suponía que era la demostrabilidad, pero no es así. Demostró los límites de los sistemas formales. La matemática siempre contendrá verdades indecidibles, siendo por tanto inagotable
Los resultados de Gödel son también decisivos para el intuicionismo de Brouwer
Es entonces cuando el teorema de imcompletitud arruina el objetivo del logicismo de construir un sistema lógico que permita incluir la aritmética. Descubre que la verdad matemática es de orden mayor a la verdad lógica, por tanto, no se puede reducir la matemática a la lógica.
Por su cercanía a las matemáticas, la física, tan cuidadosamente axiomatizada es la más afectada por el teorema de Gödel. Los físicos han comprendido a la fuerza que sus mayores limitaciones no serán económicas o tecnológicas, ni siquiera las asociadas a la capacidad humana. Su mayor limitación radica en que nunca alcanzarán solución a todos los problemas que puedan plantearse, ya que todo sistema racional de conocimientos es esencialmente incompleto.
Para entenderlo, consideremos que la física no existe a parte del universo, forma parte de él y su objeto es modelarlo. El hombre también forma parte del mismo. Dado que tanto el sistema como sus creadores forman parte del universo, parece evidente pensar que el universo trata de hacer un modelo de sí mismo. Por tanto, una pequeña parte del universo (el hombre y su sistema) tratan de modelar una realidad completa (el universo). Este es un claro ejemplo de autoreferencia, y como tal aparece una paradoja: el modelo como parte del universo tendría que ser mayor que el universo que pretende modelar.¿Una parte mayor que el todo?