¿Son importantes las ecuaciones?

Desde siem,pre, cuando hemos oido mencionar la palabra “ecuaciones” nuestros sentidos se han puesto alerta y se han esperado lo peor. Y, sin embargo, no podemos dejar de reconocer que sin ellas, las matemáticas no tendrían “alma”, los científicos y los modernos técnicos de las maravillas del futuro, sin ellas, no podrían pasar, toda vez que, en sus guarismos están encerradas las claves de todo cuanto podemos hacer, de todo lo que podemos comprender, y, también, es la mejor manera que tenemos para explicar el Universo.

De manera muy breve, sin rpofundizar, dejémos aquí hoy algunas de esas ecuaciones que cambiaron el mundo.

La hipotenusa al cuadrado

Teorema de Pitágoras

¿Qué nos dice?
Como están relacionados los tres lados de un triángulo rectángulo.

¿Por qué es importante?
Nos proporciona un vínculo Importante entre la geometría y el álgebra, permitiéndonos calcular distancias en términos de coordenadas. También inspiró la trigonometría.

¿Qué provocó?
Topografía, navegación y, más recientemente, relatividad general y especial, la mejor de las actuales teorías del espacio, el tiempo y la gravedad.

Acortando los procesos
Logaritmos

¿Qué nos dice?
Cómo multiplicar números sumando, en su lugar, números que están relacionados.

¿Por qué es importante?
Sumar es mucho más simple que multiplicar.

¿Qué provocó?
Métodos eficientes para calcular fenómenos astronómicos como eclipses y órbitas planetarias. Modos rápidos de realizar cálculos científicos. La compañera fiel de los ingenieros, la regla de cálculo. Descomposición radiactiva y la psicofísica de la percepción humana.

Patrones del azar
Distribución normal

¿Qué dice?
La probabilidad de observar un valor concreto de un dato es mayor cerca del valor de la media y se desvanece rápidamente a medida que la diferencia con la media incrementa. Cómo de rápido se desvanece depende de una cantidad llamada desviación estándar.

¿Por qué es importante?
Define una familia especial de distribuciones de probabilidad con forma de campana, que son, con frecuencia, modelos buenos para observaciones comunes del mundo real.

¿Qué provocó?
El concepto de «hombre medio», testes de la importancia de los resultados experimentales, como pruebas médicas, y una tendencia desafortunada a tomar por defecto la campana de Gauss como si nada más existiese.

Buenas vibraciones
Ecuación de onda

¿Qué dice?
La aceleración de un pequeño segmento de la cuerda de un violín es proporcional al desplazamiento medio de los segmentos vecinos.

¿Por qué es importante?
Predice que la cuerda se moverá en ondas, y se generaliza de manera natural a otros sistemas físicos en los cuales aparecen ondas.

Ondas e instantes
Transformada de Fourier

¿Qué dice?
Cualquier patrón en el espacio y el tiempo se puede pensar como una superposición de patrones sinusoidales con diferentes frecuencias.

¿Por qué es importante?
Las frecuencias constituyentes se pueden usar para analizar los patrones, hacerlas a medida, extraer características importantes y eliminar ruido aleatorio.

¿Qué provocó?
La técnica de Fourier se usa muchísimo, por ejemplo, en tratamiento de imágenes y mecánica cuántica. Se usa para encontrar la estructura de moléculas biológicas grandes como el ADN, para comprimir datos de imágenes en fotografía digital, para limpiar grabaciones de audio viejas o dañadas y para analizar terremotos. Variantes modernas se usan para almacenar datos de huellas digitales de manera eficiente y mejorar escáneres médicos.

La ascensión de la humanidad
Ecuación de Navier-Stokes

 

¿Qué dice?
Es la segunda ley de movimiento de Newton disfrazada. La parte izquierda es la aceleración de una región pequeña de un fluido. La parte derecha son las fuerzas que actúan en ella: presión, tensión y las fuerzas internas de los cuerpos.

¿Por qué es importante?
Proporciona un modo realmente preciso de calcular cómo los fluidos se mueven. Esto es una característica clave en innumerables problemas científicos y tecnológicos.

¿Qué provocó?
Aviones de pasajeros modernos, submarinos rápidos y silenciosos, coches de Fórmula 1 que se mantienen en la pista a velocidades altas y avances médicos en el flujo sanguíneo en venas y arterias. Métodos computacionales para resolver ecuaciones, conocidos como mecánica de fluidos computacional o CFD (por su nombre en inglés computational fluid dynamics), son muy usados por ingenieros para mejorar la tecnología en sus áreas.

Ondas en el éter
Ecuaciones de Maxwell

 

¿Qué dicen?
La electricidad y el magnetismo no pueden desvanecerse sin más. Una región de un campo eléctrico girando crea un campo magnético perpendicular al giro. Una región de un campo magnético girando crea un campo eléctrico perpendicular al giro, pero en el sentido opuesto.

¿Por qué es importante?
Fue la primera unificación importante de fuerzas físicas, mostrando que la electricidad y el magnetismo están íntimamente interrelacionados.

¿Qué provocó?
La predicción de que las ondas electromagnéticas existen, desplazándose a la velocidad de la luz, de modo que la propia luz es una de dichas ondas. Esto motivó la invención de la radio, el radar, la televisión, las conexiones inalámbricas para los ordenadores y la mayoría de las comunicaciones modernas.

La ley y el desorden
Segunda ley de la termodinámica

¿Qué dice?
La cantidad de desorden en un sistema termodinámico siempre aumenta.

¿Por qué es importante?
Pone límites a cuánto trabajo útil puede extraerse a partir del calor.

¿Qué provocó?
Mejores máquinas de vapor, estimaciones de la eficiencia de energía renovable, el escenario de «la gran congelación», la prueba de que la materia está hecha de átomos, y conexiones paradójicas con la flecha del tiempo.

Una cosa es absoluta
Relatividad

¿Qué dice?
La materia contiene energía igual a su masa multiplicada por el cuadrado de la velocidad de la luz.

¿Por qué es importante?
La velocidad de la luz es enorme y su cuadrado es absolutamente monumental. Un kilogramo de materia liberaría alrededor del 40 % de la energía en el arma nuclear más grande que jamás ha explotado. Es parte de un paquete de ecuaciones que cambiaron nuestra visión del espacio, tiempo, materia y gravedad.

¿Qué provocó?
Indudablemente, física radicalmente nueva. Armas nucleares… bueno, solo quizá, aunque no tan directamente o de manera concluyente como los mitos urbanos reclaman. Agujeros negros, el Big Bang, GPS y navegación vía satélite.

Códigos, comunicaciones y ordenadores
Teoría de la información

¿Qué dice?
Define cuánta información contiene un mensaje, en términos de las probabilidades con las que los símbolos que lo componen tienen la posibilidad de darse.

¿Por qué es importante?
Es la ecuación que marca el comienzo de la era de la información. Estableció los límites en la eficiencia de las comunicaciones, permitiendo a los ingenieros dejar de buscar códigos que fuesen demasiado efectivos para existir. Es básica en las comunicaciones digitales de hoy en día: teléfonos, CDs, DVDs, Internet.

¿Qué provocó?
Códigos eficientes de detección y corrección de errores, usados en todo, desde CDs a sondas espaciales. Las aplicaciones incluyen estadística, inteligencia artificial, criptografía, y obtener significado de la secuencia de ADN.

El desequilibrio de la naturaleza
Teoría del caos

¿Qué dice?
Hace un modelo de cómo una población de criaturas vivas cambia de una generación a la siguiente, cuando hay límites en los recursos disponibles.

¿Por qué es importante?
Es una de las ecuaciones más simples que puede generar el caos determinista, comportamiento aparentemente aleatorio con causas no aleatorias.

¿Qué provocó?
La comprensión de que ecuaciones no lineales sencillas pueden crear dinámicas muy complejas, y que esa aleatoriedad aparente podría ocultar un orden escondido. Popularmente conocida como teoría del caos, este descubrimiento tiene innumerables aplicaciones en toda la ciencia, incluyendo el movimiento de los planetas del Sistema Solar, la predicción del tiempo, la dinámica de poblaciones en ecología, las estrellas variables, el modelado de terremotos y trayectorias eficientes para las sondas espaciales.

La fórmula de Midas
Ecuación de Black-Scholes

¿Qué dice?
Describe cómo el precio de un derivado financiero cambia en el tiempo, basándose en el principio de que cuando el precio es correcto, el derivado no conlleva riesgo y nadie puede sacar beneficio vendiéndolo a un precio diferente.

¿Por qué es importante?
Hace posible comerciar un derivado antes de que venza asignándole un valor «racional» acordado, de modo que puede convertirse en una mercancía virtual por derecho propio.

¿Qué provocó?
Crecimiento masivo del sector financiero, instrumentos financieros cada vez más complejos, aumento repentino, salpicado con quiebras, en la prosperidad económica, los turbulentos mercados de valores de los noventa del siglo pasado, la crisis financiera del 2008-2009, y la depresión económica actual.

“Cuando alguien pone por escrito una ecuación, no hay un repentino trueno tras el cual todo es diferente. La mayoría de las ecuaciones tiene poco o ningún efecto (yo las pongo por escrito todo el rato, y créeme, lo sé). Pero incluso las mejores y más influyentes ecuaciones necesitan ayuda para cambiar el mundo: modos eficientes de resolverlas, gente con la imaginación y el instinto para explotar lo que nos quieren decir, mecanismos, recursos, materiales, dinero. Teniendo esto en mente, las ecuaciones han establecido repetidamente nuevas direcciones para la humanidad, y actuado como nuestras guías a medida que las exploramos. “

Ian Stewart

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