La grandeza de Einstein

Las paradojas

Analizar el mismo problema desde distintas perspectivas puede resultar esclarecedor; ilumina nuestros conocimientos, que ante las diferentes respuestas puede ver la verdadera, que en la mayoría de los casos viene a ser lo que ocurre realmente en la Naturaleza, aunque no siempre estamos capacitados para entenderlo.

Los avances de la ciencia natural pueden verse en buena parte como un alejamiento progresivo de la intuición vulgar y del realismo ingenuo. El conocimiento de los fenómenos de la Naturaleza nos llevó a un estadio de racionalidad y entendimiento coherente de los hechos que ocurrían a nuestro alrededor, de manera tal que se cumplía el objetivo de la ciencia, comenzando por la observación elemental a la que seguía la experimentación (observación provocada) y culminando en una primera parte o estadio con el enunciado de leyes empíricas.

Estas observaciones primarias tienen lugar a través de nuestras categorías sensoriales, que se han forjado, pulido y refinado a lo largo de la evolución de nuestros sentidos, como el tacto, la vista, el oído, etc.

Muones viajeros observados por otros en reposo

Es con esas categorías macroscópicas con las que se tienen que elaborar los primeros conceptos abstractos. No es de extrañar por tanto que cuando la investigación de la Naturaleza alcanza el dominio microscópico (por ejemplo, la micra), y luego el atómico (el Ángstrom), como ocurrió a principios del pasado siglo XX, nuestras concepciones espaciotemporales primarias sean insuficientes para expresar en sus propios términos los nuevos fenómenos que no son observables a simple vista, lo que nos enseña nuestras limitaciones para conocer el mundo que nos rodea.

Pero hay otras sorpresas. Muchos avances científicos deben verse como una limitación a nuestras ideas e intuiciones ingenuas. Así, por ejemplo, el átomo aparece como un límite a la (natural) división de la materia en unidades cada vez más pequeñas, la velocidad de la luz c se muestra como la máxima velocidad alcanzable en nuestro universo, y la medición simultánea de varias dinámicas conjugadas posee intrínsecamente una incertidumbre mínima. No estamos preparados evolutivamente para incorporar esas limitaciones, y tanto el papel de c como el de h son muy “antiintuitivos”.

Y no sólo es en lo muy pequeño donde debemos estar preparados para enfrentarnos a novedades inesperadas, en contra del sentido común ingenuo. En el futuro, serán derribadas barreras que hoy parecen firmes e inamovibles. Una de esas barreras será c, ya que de no ser así, ¿cómo podríamos escapar de nuestro sistema solar hacia otros mundos?

Recordemos cuánto nos costó aceptar que la Tierra es redonda y no plana, que el hombre no es el centro de Universo, o que la fuerza engendra aceleración más bien que velocidad. Hasta que hemos comprendido todo eso, y hasta que lo hemos incluido en los conocimientos del hombre culto, ha pasado mucho tiempo; un largo camino que va desde Aristóteles hasta Galileo.

Los inconvenientes aparecen cuando menos los esperamos, cuando se contrastan experimentos y, sin embargo, es el avance en el marco conceptual quien a la larga hará que las dificultades desaparezcan y que los aspectos paradójicos dejen de serlo. Hoy viajamos en avión y vemos la redondez del planeta, y aceptamos que las cosas están hechas de átomos, donde los electrones casi puntuales nadan en un espacio esencialmente vacío, aunque los objetos que vemos nos parezcan macizos y continuos. Bajo este enfoque, en el que el progreso científico debe hacer parecer natural y lógico lo que antes fue paradójico y chocante, es como trataré el comentario de las diversas paradojas que surgen al estudiar las dos partes de la Teoría de la Relatividad: la Especial y la General.

Trataré o distinguiré diversos tipos de “sorpresas” que aparecen en el devenir del pensamiento humano. En otro plano están, por ejemplo, las paradojas de la lógica, como la de B. Rusell (sobre “el conjunto de todos los conjuntos”), lo que obligó a formular la lógica matemática de G. Frege; o las limitaciones impuestas por el teorema de K. Gödel.

Pero vamos a referirnos aquí a situaciones en las que, a primera vista, la “solución” inmediata a un determinado problema no es la correcta, y aún más a otros casos, en los que parece que hay dos o más soluciones diferentes a un mismo problema, que es lo que realmente entendemos por paradoja. Son éstas las que una buena teoría debe resolver, si es que está construida de un modo libre de contradicciones internas: un análisis detallado debe decidir cuál es la única respuesta que se sigue de la teoría; en algunos casos incluso se podrá hacer alguna predicción experimental.

Paradojas de la relatividad especial

                                                    Hay un límite de velocidad en el vacío espacial

El rasgo distintivo característico de la Teoría de la Relatividad Especial (A. Einstein 1.905) es que existe una velocidad máxima de propagación de los efectos físicos, que se identifica con la velocidad de la luz en el vacío, c. Tres consecuencias inmediatas:

1. El carácter absoluto del tiempo; es decir, la adscripción de un tiempo propio a cada observador.
2. La modificación de la ley de composición de velocidades.
3. El aumento de la masa inercial de un objeto móvil entre dos sucesos de su historia, ahora denominado tiempo propio, aparece como una longitud de su línea de Universo en el espacio-tiempo, que ahora sí depende de la historia, esto es, del movimiento de la partícula entre los dos sucesos extremos, y no sólo de estos dos extremos. Esta longitud está dada por una expresión muy análoga a la que determina la longitud de una curva en la geometría euclidea, con la diferencia esencial de que la métrica en el espacio-tiempo no es definida positiva.

La paradoja de los gemelos

     Es obligado, al hablar de paradojas relativistas, empezar por la famosa paradoja de los gemelos.

Dos hermanos gemelos, Ed y Med, se separan. Ed se queda en la Tierra, cuya desviación respecto de ser un sistema inercial ignoraremos al ser muy pequeña para los efectos que interesan aquí. Med viaja, muy rápido, a una estrella cercana y vuelve. Al encontrarse con Ed, encuentra que éste ha envejecido mucho más que él mismo.

Esta es una predicción de la teoría de la relatividad; se trata de una situación sorprendente, pero que se explica naturalmente por la geometría minkowskiana del espacio-tiempo, una de cuyas consecuencias es aquí permanente: la dilatación del tiempo.

Uno de los gemelos, Ed, se mueve sin aceleración. Desde el punto de vista de Ed, Med se mueve con una velocidad que en un modelo realista deberá ser variable (debe acelerar, pasando de 0 a un valor de crucero v; al llegar a la estrella debe decelerar, detenerse, arrancar de nuevo para el viaje de regreso y frenar finalmente al llegar a su destino). La relatividad establece una relación entre el intervalo de tiempo propio Δt_E medido por Ed entre dos sucesos S₁ y S₂ muy cercanos en su línea de Universo, y el tiempo propio Δt_M de Med entre dos sucesos sobre la línea de Universo de Med, que Ed considera simultáneos con S₁ y S₂, que depende sólo de la velocidad instantánea de Med, y es .

En la idealización usual se hace que los tres intervalos de aceleración y deceleración tengan una duración propia muy pequeña (a costa de que las aceleraciones sean grandes). Así, Med acelera muy rápidamente hasta cierta velocidad v, que mantiene hasta la mitad del viaje. Allí hay un transitorio en el que necesariamente tiene que frenar, acelerar en la dirección opuesta hasta conseguir la velocidad -v con la que regresa, y frenar finalmente para juntarse con Ed.

Para explicar todo esto tendríamos que exponer aquí una serie de ecuaciones que lo complicaría todo para el lector medio, así que me limitaré a decir que el tiempo propio total registrado por Med para su viaje es t_M = t_M- + t_M+ = 2t_M- = , que es menor que el de Ed en el factor ; efectivamente, Med encontrará a Ed más viejo.

Toda esta palabrería nos lleva a resumir, prescindiendo de explicaciones técnicas y matemáticas, que el tiempo transcurre de manera distinta en función de la velocidad a la que viajemos, y si lo hacemos a la velocidad de la luz en el vacío, c, nuestro tiempo pasará mucho más lento.

La fórmula básica de relación entre tiempos propios conduce, entre otras, a una predicción asombrosa: si Med pudiera mantener una velocidad constante igual a c, el tiempo propio medido por él se anularía. Pero esto no es posible; acelerar un cuerpo ordinario hasta la velocidad c requeriría una energía infinita. Por el contrario, para los fotones, que siempre viajan a la velocidad de la luz, el tiempo propio no transcurre. Y la fórmula captura también otra propiedad básica: entre dos sucesos dados, la historia que los incluye y que no tiene aceleración (que sería el movimiento natural, geodésico entre ambos sucesos) resulta tener el tiempo propio máximo.

El efecto de la dilatación del tiempo se ha comprobado experimentalmente muchas veces. La primera confirmación se obtuvo de la presencia, al nivel del mar, de muones (originados en la alta atmósfera a unos 20 Km por los rayos cósmicos) cuya vida media en reposo es del orden de dos microsegundos. Si no hubiese dilatación temporal, incluso viajando a la velocidad de la luz la distancia máxima que podrían recorrer sería del orden de 600 m, lo que haría que prácticamente ninguno llegase “vivo” al nivel del mar. Pero sus dos microsegundos de vida media están dilatados en el tiempo en un factor de  desde el punto de vista de la Tierra, dándoles la oportunidad de, a las velocidades a las que viajan, recorrer 20 Km. Así mismo, las adaptaciones de los sincrotones (un tipo de acelerador de partículas) a la masa variable es otro ejemplo de comprobación “tecnológica” de las peculiaridades de la relatividad especial; el muón aumenta diez veces su masa cuando a velocidades relativistas es lanzado por los aceleradores de partículas.

Incluso hay comprobaciones experimentales directas de la diferencia entre los tiempos propios experimentados por relojes atómicos que se separan, siguen historias diferentes (uno viaja rápido y el otro se mantiene en reposo) y vuelven a reunirse. La más conocida es la de Hafele y Keating (1.972): se dispuso de relojes con precisión relativa del orden de 10^-13. Se comparó el registro de tiempo entre el reloj mantenido en el aeropuerto y otro circuvalando en avión la Tierra en vuelo hacia el este, y un tercero circuvalando hacia el oeste. La corrección de la relatividad especial afecta a los tres relojes, ya que la velocidad pertinente es la relativa a un sistema inercial, siendo el vuelo hacia el E el que tiene una velocidad menor. Para un avión volando a 1.000 Km/h a 10 Km de altura, esta corrección de la relatividad especial resulta del mismo orden de magnitud 10^-12 que la gravitatoria, a la que me referiré más tarde, y el experimento produjo unas diferencias absolutas de t_O – t_A y t_E – t_A (t_A es el tiempo propio del reloj del aeropuerto), de 273 ± 7 ns (oeste) y -59 ± 10 ns (este), a comparar con la previsión teórica, 251 ± 21 ns y -40 ± 23 ns respectivamente.

La bibliografía sobre esta paradoja es inmensa y algunas muy recientes que son muy sugerentes al discutir la paradoja en otras topologías. De las paradojas de este tipo recuerdo la de la pértiga y el granero, y también el experimento del tren y el andén (al que me he referido en trabajos anteriores). También están las paradojas de las dos naves espaciales, conocida como la paradoja de Bell. Otro ejemplo sería el acoplamiento spin-órbita que, más que una paradoja es un efecto peculiar de las transformaciones de Lorentz de gran importancia en la física atómica.

De manera que la transformación de Einstein, que es la transformación de Lorentz queda como

Podría dejarlo aquí, pero vamos a complicarlo un poco. Introducimos una nueva coordenada espacial a partir de ct, el producto de una velocidad por el tiempo es el espacio y utilizamos la siguiente notación:

Paradojas de la relatividad general

Para la relatividad general hay que tener siempre presentes los dos bien conocidos textos clásicos como los de Mister, Thorne y Wheeler Gravitation, y de Weinberg Gravitation and Cosmology.

Un nuevo experimento desarrollado en el Instituto Max Planck de Alemania ha confirmado con una precisión sin precedentes el fenómeno de la dilatación del tiempo. Usando una tecnología procedente de la óptica cuántica, por la que uno de los artífices del experimento obtuvo el Nobel de Física en 2005, obtuvieron una comprobación de las predicciones de la relatividad especial, en lo que concierne al factor de la dilatación relativista del tiempo, con una precisión 10 veces superior que las obtenidas con el sistema GPS, lo que puede mejorar las aplicaciones de seguimiento por satélite, entre otras posibilidades.

Consideremos dos relojes ideales idénticos, uno en el polo y otro en el ecuador, ambos al nivel del mar. Relativamente a un sistema inercial determinado (en primera aproximación) por el centro de la Tierra, el reloj del ecuador rota y recorre 40.000 Km en 24 horas, mientras que el del polo no. La teoría de la relatividad especial predice que, relativamente al polo, el reloj en el ecuador atrasa por un factor relativo ≈ 1’4 × 10^-12. Esta predicción figura en el artículo de 1.905 de Einstein, quien indica también su extremada pequeñez que la pone fuera de las posibilidades experimentales de comprobación en aquel momento.

Pero el principio de equivalencia (1.907) introduce un nuevo ingrediente, que resulta ser imprescindible: dos relojes idénticos en reposo, en dos lugares con diferente potencial gravitatorio, exhiben también una diferencia en su ritmo, que está dada por un factor relativo de +ΔΦ/c², donde Φ es el potencial gravitatorio newtoniano. Resulta que el potencial gravitatorio de la Tierra en el polo y en el ecuador, Φ_P y Φ_E respectivamente, son diferentes, ya que la Tierra no es una esfera perfecta, sino que está achatada por los polos; su superficie la suponemos determinada por la condición de equilibrio hidrostático de un fluido en rotación). Así, si tomamos en cuenta los dos efectos, el de la velocidad y el gravitatorio, el factor relativo total por el que difieren los ritmos entre el reloj en el ecuador y el reloj en el polo es simplemente la suma de las dos contribuciones (ya que (1 + x)(1 + y) ≈ 1 + x + y si x,y « 1).

Si se realiza el cálculo usando Φ = -GM/r y los valores r_E y r_P de los radios ecuatorial y polar de la Tierra, se encuentra la aparente sorpresa de que la contribución gravitatoria cancela exactamente a la de la relatividad especial: los dos relojes van exactamente al mismo ritmo. Por supuesto, no es una coincidencia.

La condición que determina la superficie del nivel del mar es la de ser una superficie equipotencial de un potencial equivalente a Φ – V²/2 que incluye el “pseudopotencial centrífugo”, donde V es la velocidad lineal con la que rota un punto dado de la superficie terrestre; esta condición determina el abultamiento ecuatorial de la superficie del mar. A nivel del mar, el potencial equivalente tiene el mismo valor en el polo Φ_P y en el ecuador Φ_E – V²_E/2, lo que explica la cancelación exacta encontrada antes.

Así que, el resultado neto es: los dos relojes marcan el mismo ritmo. Este efecto, que resulta directamente del principio de equivalencia, aparece automáticamente incorporado, al igual que el efecto de velocidad debido a la relatividad especial, en la teoría de Einstein de la gravitación, usando la métrica de Schwarzschild (o de Kerr). Einstein nunca corrigió su primer cálculo, ni siquiera cuando recopió el trabajo de 1.905 para una subasta.

Los físicos le llaman bella a una ecuación que, con pocos signos, nos digan muchas cosas y, desde luego, esta de Einstein… ¡Es una maravilla!

emilio silvera

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