¡El complejo Universo! Los fractales.

Es curioso como los enunciados matemáticos que pueden pertener al mundo de Platón sean precisamente aquellos que son objetivamente verdaderos. Se podría considerar que la objetividad matemática es precisamente el objeto del platonismo matemático. Decir que una afirmación matemática tiene una existencia platónica es sencillamente decir que es verdadera en un sentido objetivo. Un comentario similar es aplicable a las nociones matemáticas -tales como el conepto del número 7, por ejemplo, o la regla para la multiplicación de números enteros, o la idea de que cierto conjunto contiene infinitos elementos-, todas las cuales tienen una existencia platónica porque son n ociones objetivas. Es decir, la existencia platónica, es simplemente una cuestión de objetividad y, en consecuencia, , no debería verse como algo “místico” o “acientífico”, pese a que así la consideran algunos.

No obstante, como sucede con el axioma de elección, las preguntas acerca de si debe considerar o no que cierta propuesta concreta de una entidad matemática tiene una existencia objetiva pueden ser delicadas y a veces muy técnicas. Pese a ello, ciertamente no necesitamos ser matemáticos para apreciar la solidez general de muchos conceptos matemáticos.

Veamos la representación de algunas porciones pequeñas de esa famosa entidad matemática conocida como el conjunto de Mandelbrot:

Hace ya más de 40 años desde que el matemático Benoit Mandelbrot se planteó una interesante pregunta: ¿Cuanto mide la costa de Gran Bretaña?” La respuesta no es simple, ya que en realidad depende del instrumento con el que realicemos la medida. Descubrió también Mandelbrot que la costa de Inglaterra muestra la misma estructura a diferentes escalas, lo que hoy conocemos como autosemejanza o invarianza de escala y que constituye la principal característica de los objetos fractales.Benoit Mandelbrot también estudió un amplio grupo de extraños conjuntos, ignorados a lo largo de la matemática de principios del siglo XX y pertenecientes a prestigiosos científicos como Cantor, Hilbert, Peano, Koch, Sierpinski o Julia y logró clasificarlos bajo un mismo epígrafe. Había nacido la Geometría Fractal, a la que Mandelbrot pronto añadiría su principal creación: el Conjunto de Mandelbrot.

Bueno, el conjunto tiene una estructura extraordinariamente complicada, pero no se debe a ningún diseño humano. Lo realmente notable es que esta estructura está definida por una regla matemática particularmente simple. El punto que vamos a señalar es que nadie, ni siquiera el propio Mandelbrot cuando vio por primera vez las increibles complicaciones en los detalles finos del conjunto, tuvo ninguna preconcepción real de la extraordinaria riqueza del conjunto. El conjunto de Maldelbrot no fue invención de ninguna mente humana: sencillamente, está ahí de manera objetiva, en las propias matemáticas. Si tiene significado atribuir una existencia real al conjunto de Maldelbrot, entonces dicha existencia no estádentro de nuestras mentes, pues nadie puede abarcar por completo la inalcanzable variedad y la ilimitada complejidad del conjunto.

A la izquierda tenemos, el romanescu, un híbrido del brócoli y la coliflor, ejemplo típico de estructura fractal natural

Al pesar de su complicada estructura, el Conjunto de Mandelbrot mostraba una inusitada simplicidad para ser representado a través de un ordenador y una asombrosa belleza, mayor que cualquier otro objeto geométrico descubierto hasta entonces. Pronto algunos se atrevieron a calificar la Geometría Fractal como una rama artística emergente. Pero en realidad no fue hasta los años 90 cuando un grupo de programadores desarrollaron los algoritmos de color que otorgan a los fractales su potencial artístico. Durante los últimos años los concursos internacionales, especialmente el Benoit Mandelbrot International Fractal Art Contest han mostrado el enorme caudal artístico que atesora esta rama de la matemática mediante publicaciones y exposiciones por todo mundo.

Claro que su existencia no reside dentro de la multitud de representaciones gráficas impresas por un computador que empiezxa a captar algo de su increible sofisticación y detalle, pues, en el mejor de los casos, tales representaciones gráficas recogen tan solo una sombra de una aproximación al propio conjunto. Pese a todo, tiene una solidez que está más allá de cualquier duda, pues la misma estructura se revela -en todos sus detalles perceptibles, con finura cada vez mayor cuanto más de cerca se examina- independientemente del matemático o computador que la examine. Su existencia solo puede estar dentro del mundo platónico de las formas matemáticas.

Si miramos con atención estos conjuntos, podemos llegar a sentirnos partícipes de un fabuloso viaje por el conjunto de Mandelbrot, el interior de una figura fractal, un “universo alucinante” de endiablada y extraña belleza conformada por una simple complejidad repetitiva.

Claro que, a muchos de ustedes les costará o encontrarán difícil atribuir cualquier tipo de existencia real a las estructuras matemáticas. Yo les pido que hagan un esfuerzo, que amplien su concepción, su idea de lo que significa la palabra “existencia”, lo que puede significar para ellos. Las formas matemáticas del mundo de Platón no tienen evidentemente el mismo tipo de existencia que los objetos físicos ordinarios tales como una mesa o un libro. Tenemos que pensar en las nociones matemáticas objetivas como entidades intemporales, y no debe considerarse que nacieron en el instante en que fueron humanamente percibidas por primera vez. Las espirales concretas del conjunto del Maldelbrot que se encuentran en las Figs. 1.2c o 1.2d no alcanzaron su existencia en el instante en que se vieron por primera vez en la pantalla o la impresora de un computador, Ni surgieron cuando la idea general que hay tras el Conjunto de Maldelbrot fue propuesta por primera vez por un ser humano -no por Maldelbrot, tal como sucedió, sino por R. Brooks y J. P. Matelski, ni siquiera al principio el propio Maldelbrot, tenía ninguna concepción real de los diseños detallados y complicados que vemos arriba. Dichos diseños ya “existían” desde el principio de los tiempos, en el sentido potencial e intemporal con que necesariamente se iban a revelar en la forma exacta en que hoy los percibimos, con independencia de qué momento o qué lugar eligiera cualquier ser perceptivo para examinarlos.

Las imágenes fractales están en la Naturaleza, siempre estuvieron allí.

La existencia matemática es diferente no solo de la existencia física, sino también de una existencia que es atribuida por nuestras percepciones mentales. Pese a todo, hay una conexión misteriosa y profunda con cada una de esas otras dos formas de existencia: la Física y la Mental. En la figura que sigue mostramos de manera esquemática estas tres formas de existencia -la física, la mental y la matemático-`latónica-

Como entidades que pertenecen a tres “mundos” separados, representados esquemáticamente como esferas. También están indicadas las misteriosas conexiones entre los mundos. Con respecto al primero de esos misterios -que relaciona el mundo matemático-platónico con el mundo físico-, puede advertirse que estamos admitiendo que solo uan pequeña parte del conjunto de las matemáticas tiene que tener relevancia para el funcionamiento del mundo físico. Sucede ciertamente que la gran mayoría de las actividades actuales de los matemáticos puros no tienen una conexión obvia con la física, ni con ninguna otra ciencia, aunque con frecuencia nos veamos sorprendidos por aplicaciones importantes e inesperadas. Análogamente, en relación al segundo misterio, por el que la mentalidad entra en asociación con ciertas estructuras físicas (más concretamente, los cerebros humanos vivos, sanos y despiertos).

En realidad no se trata de que nuestras mentes lleguen a conectarse con el Universo, lo cierto es que, nosotros, somos el Universo. Simplemente se trata de que lleguemos a ser conscientes de ello. En ese preciso instante, cuando sintamos que somos una parte importante del universo (la que puede observar y pensar), sólo entonces, podremos obtener todas esas respuestas que ahora se nos resisten para llegar a comprender la complejidad del Universo, ¡nuestra complejidad!

Muchas personas, cuando he hablado con ellas en alguna charla o Seminario, se sienten incómodas con estas ideas que, al parecer, les producen una profunda desazón: ¡Ser partes del Universo! ¿Qué significa eso? Bueno, el significado es claro: de las Estrellas venimos y hacia las Estrellas nos dirigimos, allí está nuestra meta, en el origen mismo de nuestra creación.Así son mis pensamientos y, como todos ustedes, tengo miles de preguntas que plantear.

Somos conscientes de que un sistema no es otra cosa que la subordinación de todos los aspectos del Universo a uno cualquiera de ellos. Ayer mismo hablamos de la Segunda Ley de la Termodinámica, de la Entropía destructora que, en simbiosis con el Tiempo, todo lo cambia, todo lo transforma y, de alguna manera, a ella quedamos supeditados salvo ciertas pequeñas excepciones que (también previstas por el Universo) van retrazando en algunas regiones o grupos, ese final irremediable al que nos lleva la Entropía. Como vereis arriba, también en el Universo están presente toda clase de figuras fractales que, al fin y al cabo, son creaciones de la Naturalezsa misma.

¿Qué es esto? ¿Una Galaxia? ¿El caparazón de un Trilobites? ¿Una Nebulosa de estrellas con vórtice central? Con imaginación, podría ser cualquiera de esas cosas que menciono. Muchas son las veces que hemos dicho aquí que, es la Naturaleza la que tiene el mérito de ser, la mejor “pintora”, “escultora” “creadora” transformadora” y, desde luego, la que mejor sabe crear laboratorios en los que se producen las mayores maravillas de las que podamos ser testigos. Nosotros, simples mortales, nos limitamos a contemplarla, observar con atención para ver como ella funciona y, de esa manera, poder aprender para poder implantar sus formas y sus reglas a nuestras vidas, en la seguridad de que, esa será, la única manera de poder cumplir con nuestro destino.

Algunos de los pasajes que aquí habeis podido leer los he sacado de ese libro maravilloso que se titula “El camino a la realidad” su autor, Roger Penrose ha contribuido con sus obras a que, de alguna manera, gracias a sus ideas, podamos haber llegado a comprender muchos de los nuevos y modernos rocesos físicos que, en nuestro mundo están siendo desvelados. Hoy nos hemos limitado a reflejar una ínfima parte de esos pensamientos y, tiempo tendremos de tratar otros temas que, como el presente, despierten la curiosidad de los amigos de este lugar.

emilio silvera

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