Los grandes números

Entre los números que Eddington consideraba de importancia primordial estaba al que ahora conocemos como número de Eddington, que es igual al número de protones en el universo visible. Eddington calculó (a mano) este número con enorme precisión en un crucero trasatlántico, concluyendo con esta memorable afirmación:

“Creo que en el Universo hay 15.747.724.136.275.002.577.605.653.961.181.555.
.468.044.717.914.527.116.709.366.231.425.076.185.631.031.296 protones y el mismo número de electrones”.

Este número enorme, normalmente escrito N_Edd, es aproximadamente igual a 10⁸⁰.  Lo que atrajo la atención de Eddington hacia él era el hecho de que debe ser un número entero, y por eso en principio puede ser calculado exactamente.

Durante la década de 1.920, cuando Eddington empezó su búsqueda para explicar las constantes de la naturaleza, no se conocían bien las fuerzas débil y fuerte de la naturaleza. Las únicas constantes dimensionales de la física que sí se conocían e interpretaban con confianza eran las que definían la gravedad y las fuerzas electromagnéticas. Eddington las dispuso en tres puros números adimensionales. Utilizando los valores experimentales de la época, tomó la razón entre las masas del protón y del electrón:

m_pr/m_e ≈ 1840

La inversa de la constante de estructura fina

2πhc/e² ≈ 137

Y la razón entre la fuerza gravitatoria y la fuerza electromagnética entre un electrón y un protón,

e²/Gm_pr m_e ≈ 10⁴⁰

A estas añadió su número cosmológico, N_Edd ≈ 10⁸⁰. A estos cuatro números los llamó “las constantes últimas”, y la explicación de sus valores era el mayor desafío de la ciencia teórica:

“¿Son estas cuatro constantes irreducibles, o una unificación posterior de la física que pueda demostrar que una o todas ellas podrían ser prescindibles? ¿Podrían haber sido diferentes de lo que realmente son?…  Surge la pregunta de si las razones anteriores pueden ser asignadas arbitrariamente o si son inevitables.  En el primer caso, sólo podemos aprender sus valores por medida; en el segundo caso es posible encontrarlos por la teoría…  Creo que ahora domina ampliamente la opinión de que las (cuatro anteriores) constantes… no son arbitrarias, sino que finalmente se les encontrará una explicación teórica; aunque también he oído expresar lo contrario.”

Siguiendo con su especulación Eddington pensaba que el número de constantes inexplicadas era un indicio útil del hueco que había que cerrar antes de que se descubriese una teoría verdaderamente unificada de todas las fuerzas de la naturaleza.  En cuanto a si esta teoría final contenía una constante o ninguna, tendríamos que esperar y ver:

“Nuestro conocimiento actual de 4 constantes en lugar de 1 indica meramente la cantidad de unificación de teoría que aún queda por conseguir. Quizá resulte que la constante que permanezca no sea arbitraria, pero de eso no tengo conocimiento.”

Eddington, como Max Planck, Einstein y Galileo, y Newton antes que ellos, era simplemente un adelantado a su tiempo; comprendía y veía cosas que sus coetáneos no podían percibir.

Hay una anécdota que se cuenta sobre esto y que ilustra la dificultad de muchos para reconciliar el trabajo de Eddington sobre las constantes fundamentales con sus monumentales contribuciones a la relatividad general y la astrofísica. La historia la contaba Sam Goudsmit referente a él mismo y al físico holandés Kramers:

“El gran Arthur Eddington dio una conferencia sobre su derivación de la constante de estructura fina a partir de una teoría fundamental. Goudsmit y Kramers estaban entre la audiencia.  Goudsmit entendió poco pero reconoció que era un absurdo inverosímil. Kramers entendió mucho y reconoció que era un completo absurdo. Tras la discusión, Goudsmit se acercó a su viejo amigo y mentor Kramers y le preguntó: ¿Todos los físicos se vuelven locos cuando se hacen mayores? Tengo miedo. Kramers respondió, “No Sam, no tienes que asustarte. Un genio como Eddington quizá puede volverse loco pero un tipo como tú sólo se hace cada vez más tonto”.

“La historia es la ciencia de las cosas que no se repiten”.

Paul Valéry

El mayor misterio que rodea a los valores de las constantes de la naturaleza es sin duda la ubicuidad de algunos números enormes que aparecen en una variedad de consideraciones aparentemente inconexas. El número de Eddington es un ejemplo notable. El número total de protones que hay dentro del alcance del universo observable esta próximo al número

10⁸⁰

Si preguntamos ahora por la razón entre las intensidades de las fuerzas electromagnéticas y gravitatoria entre dos protones, la respuesta no depende de su separación, sino que es aproximadamente igual a

10⁴⁰

En un misterio. Es bastante habitual que los números puros que incluyen las constantes de la naturaleza difieran de 1 en un factor del orden de 10², ¡pero 10⁴⁰, y su cuadrado 10⁸⁰, es rarísimo! Y esto no es todo. Si seguimos a Max Planck y calculamos en valor estimado para la “acción” del universo observable en unidades fundamentales de Planck para la acción, obtenemos.

10¹²⁰

Ya hemos visto que Eddington se inclinaba a relacionar el número de partículas del universo observable con alguna cantidad que incluyera la constante cosmológica. Esta cantidad ha tenido una historia muy tranquila desde esa época, reemergiendo ocasionalmente cuando los cosmólogos teóricos necesitan encontrar una manera de acomodar nuevas observaciones incómodas.  Recientemente se ha repetido este escenario. Nuevas observaciones de alcance y precisión sin precedentes, posibilitadas por el telescopio espacial Hubble trabajando en cooperación con telescopios sensibles en tierra, han detectado supernovas en galaxias muy lejanas. Su pauta de brillo y atenuación característica permite deducir su distancia a partir de su brillo aparente. Y, sorprendentemente, resulta que están alejándose de nosotros mucho más rápido de lo que cualquiera esperaba. La expansión del universo ha pasado de ser un estado de deceleración a uno de aceleración. Estas observaciones implican la existencia de una constante cosmológica positiva (Λ⁺). Si expresamos su valor numérico como número pero adimensional medido en unidades del cuadrado de la longitud de Planck, entonces obtenemos un número muy próximo a

10^-120

Nunca se ha encontrado un número más pequeño en una investigación física real.

¿Qué vamos a hacer con todos estos grandes números? ¿Hay algo cósmicamente significativo en 10⁴⁰ y sus cuadrados y cubos?

La aparición de algunos de estos grandes números ha sido una fuente de sorpresas desde que fue advertida por vez primera por Hermann Weyl en 1.919. Eddington había tratado de construir una teoría que hiciera comprensible su aparición, pero no logró convencer a un número significativo de cosmólogos de que estaba en la vía correcta. Pero sí convenció a la gente de que había algo que necesitaba explicación. De forma inesperada, fue precisamente uno de sus famosos vecinos de Cambridge quien escribió a la revista Nature la carta que consiguió avivar el interés por el problema con una idea que sigue siendo una posibilidad viable incluso hoy.

Paul Dirac ocupó la cátedra lucaciana de matemáticas en Cambridge durante parte del tiempo en que Eddington estuvo viviendo en los observatorios. Las historias que se cuentan de Paul Dirac dejan muy claro que era un tipo con un carácter peculiar, y ejercía de matemático las 24 h. del día. Se pudo saber que su inesperada incursión en los grandes números fue escrita durante su viaje de novios (Luna de miel), en febrero de 1937.

Aunque no muy convencido de las explicaciones de Eddington, escribió que era muy poco probable que números adimensionales muy grandes, que toman valores como 10⁴⁰ y 10⁸⁰, sean accidentes independientes y no relacionados: debe existir alguna fórmula matemática no descubierta que liga las cantidades implicadas. Deben ser consecuencias más que coincidencias.

Esta es la hipótesis de los grandes números según Dirac:

“Dos cualesquiera de los números adimensionales muy grandes que ocurren en la naturaleza están conectados por una sencilla relación matemática, en la que los coeficientes son del orden de la unidad”.

Los grandes números de que se valía Dirac para formular esta atrevida hipótesis salían del trabajo de Eddington y eran tres:

N₁ = (tamaño del universo observable) / (radio del electrón)

= ct (e²/m_ec²) ≈ 10⁴⁰

N₂ = Razón fuerza electromagnética-a-gravitatoria entre protón y electrón

= e²/Gm_e m_p ≈ 10⁴⁰

N = número de protones en el universo observable

= c³t/Gm_p ≈ 10⁸⁰

Aquí t es la edad actual del universo, m_e es la masa de un electrón, m_p es la masa de un protón, G la constante de gravitación, c la velocidad de la luz y e la carga del electrón.

Según la hipótesis de Dirac, los números N₁, N₂ y  eran realmente iguales salvo pequeños factores numéricos del orden de la unidad. Con esto quería decir que debe haber leyes de la naturaleza que exijan fórmulas como N₁ = N₂, o incluso N₁ = 2N_2. Un número como 2 ó 3, no terriblemente diferente de 1 está permitido porque es mucho más pequeño que los grandes números implicados en la fórmula; esto es lo que él quería decir por “coeficientes….  del orden de la unidad”.

Esta hipótesis de igualdad entre grandes números no era en sí misma original de Dirac. Eddington y otros habían escrito antes relaciones muy semejantes, pero Eddington no había distinguido entre el número de partículas del universo observable, que se define como una esfera centrada en nosotros con un radio igual a la velocidad de la luz multiplicada por la edad actual del universo, o lo que es lo mismo:

Universo observable: R = 300.000 × 13.500.000.000

El cambio radical expuesto por Dirac en su hipótesis de grandes números es que nos exige que creamos que un conjunto de constantes tradicionales de la naturaleza, como N₂, debe estar cambiando a medida que el universo envejece en el tiempo, t:

N₁ ≈ N₂ ≈ √N ∝ t

Puesto que Dirac había incluido dos combinaciones que contenían la edad del universo, t, en su catálogo de grandes números, la relación que él propone requiere que una combinación de tres de las constantes de la naturaleza tradicionales no sea constante en absoluto, sino que su valor debe aumentar continuamente a medida que el universo se hace más viejo, de modo que

e²/Gm_p ∝ t

Dirac decidió acomodar este requisito abandonando la constancia de la constante de gravitación de Newton, G. Sugirió que estaba decreciendo en proporción directa a la edad del universo en escalas de tiempo cósmicas, como

G ∝ 1/t

Así pues, en el pasado G era mayor y en el futuro será menor que lo que mide hoy. Ahora veremos que N₁ ≈ N₂ ≈ √N ∝ t y la enorme magnitud de los tres grandes números es una consecuencia de la gran edad del universo: todas aumentan con el paso del tiempo.

La propuesta de Dirac provocó un revuelo entre un grupo de científicos vociferantes que inundaron las páginas de las revistas especializadas de cartas y artículos a favor y en contra. Dirac, mientras tanto, mantenía su calma y sus tranquilas costumbres, pero escribió sobre su creencia en los grandes números cuya importancia encerraba la comprensión del universo con palabras que podrían haber sido de Eddington, pues reflejan muy estrechamente la filosofía de la fracasada “teoría fundamental”.

“¿No cabría la posibilidad de que todos los grandes sucesos presentes correspondan a propiedades de este Gran Número [10⁴⁰] y, generalizando aún más, que la historia entera del universo corresponda a propiedades de la serie entera de los números naturales…? Hay así una posibilidad de que el viejo sueño de los filósofos de conectar la naturaleza con las propiedades de los números enteros se realice algún día”.

La propuesta de Dirac levantó controversias entre los físicos, y Edward Teller en 1948, demostró que si en el pasado la gravedad hubiera sido como dice Dirac, la emisión de la energía del Sol habría cambiado y la Tierra habría estado mucho más caliente en el pasado de lo que se suponía normalmente, los océanos habrían estado hirviendo en la era precámbrica, hace doscientos o trescientos millones de años, y la vida tal como la conocemos no habría sobrevivido, pese a que la evidencia geológica entonces disponible demostraba que la vida había existido hace al menos quinientos millones de años.

El eufórico George Gamow era buen amigo de Teller y respondió al problema del océano hirviente sugiriendo que podía paliarse si se suponía que las coincidencias propuestas por Dirac eran debidas a una variación temporal en e, la carga del electrón, con e² aumentando con el tiempo como requiere la ecuación e²/Gm_p ∝ t

Por desgracia, la propuesta de Gamow de una e variable tenía todo tipo de consecuencias inaceptables para la vida sobre la Tierra. Pronto se advirtió que la sugerencia de Gamow hubiera dado como resultado que el Sol habría agotado hace tiempo todo su combustible nuclear, no estaría brillando hoy si e² crece en proporción a la edad del universo. Su valor en el pasado demasiado pequeño habría impedido que se formaran estrellas como el Sol. Las consecuencias de haber comprimido antes su combustible nuclear, el hidrógeno, hubiera sido la de convertirse primero en gigante roja y después en enana blanca y, por el camino, en el proceso, los mares y océanos de la Tierra se habrían evaporado y la vida habría desaparecido de la faz del planeta.

Gamow tuvo varias discusiones con Dirac sobre estas variantes de su hipótesis de G variable. Dirac dio una interesante respuesta a Gamow con respecto a su idea de la carga del electrón, y con ello la constante de estructura fina, pudiera estar variando.

Recordando sin duda la creencia inicial de Eddington en que la constante de estructura fina era un número racional, escribe a Gamow en 1961 hablándole de las consecuencias cosmológicas de su variación con el logaritmo de la edad del universo.

“Es difícil formular cualquier teoría firme sobre las etapas primitivas del universo porque no sabemos si hc/e² es constante o varía proporcionalmente a log(t). Si hc/e² fuera un entero tendría que ser una constante, pero los experimentadores dicen ahora que no es un entero, de modo que bien podría estar variando. Si realmente varía, la química de las etapas primitivas sería completamente diferente, y la radiactividad también estaría afectada. Cuando empecé a trabajar sobre la gravedad esperaba encontrar alguna conexión entre ella y los neutrinos, pero esto ha fracasado.”

Dirac no iba a suscribir una e variable fácilmente, como solución al problema de los grandes números. Precisamente, su trabajo científico más importante había hecho comprensible la estructura de los átomos y el comportamiento del electrón, y dijo que existía el positrón. Todo ello basado en la hipótesis, compartida por casi todos, de que e era una verdadera constante, la misma en todo tiempo y todo lugar en el universo, un electrón y su carga negativa eran exactas en la Tierra y en el más  alejado planeta de la más alejada estrella de la galaxia Andrómeda. Así que Gamow pronto abandonó la teoría de la e variable y concluyo que:

“El valor de e se mantiene en pie como el Peñón de Gibraltar durante los últimos 6×10⁹ años.” *

Pero lo que está claro es que, como ocurre siempre en ciencia, la propuesta de Dirac levantó una gran controversia que llevó a cientos de físicos a realizar pruebas y buscar más a fondo en el problema, lo que dio lugar a nuevos detalles importantes sobre el tema.

emilio silvera

* 6.000 millones de años era la estimación de la edad del universo en esa época corregido en 1953. Volver

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