¡Las matemáticas! ¿El origen?

                Si miramos … ¿Qué veremos? La imagen de un objeto se forma en la retina de cada ojo, por tanto tendríamos dos imágenes de un mismo objeto y sin embargo, vemos una sola… Claro que no siempre lo que podemos ver está determinado por la visión de los ojos… ¡La Mente llega más lejos y ve mucho más!

                      Muescas en el hueso de Ishango, una herramienta de hueso que data del Paleolítico Superior, aproximadamente de unos 35.000 años a. C.

Lo que veremos es que las cosas nunca son como parecen ser a primera vista y, con el tiempo que inexorablemente transcurre, las cosas cambian sin que nada lo pueda evitar y, los saberes del mundo evolucionan tomando siempre el camino de la perfección. Es decir, cada vez se hacen las cosas mejor, se depuran más las técnicas y, con la experiencia llega el conocimiento y la sabiduría.

Los expertos occidentales, por ejemplo, dicen que la autoría del teorema de Pitágoras corresponde a éste. A pesar de que los babilonios habían creado el mismo concepto siglos antes. La razón es que Pitágoras o sus seguidores habían creado la primera demostración de este principio fundamental, mientras que los babilonios no lo hicieron. Es lo mismo que pasó (en tiempos más recientes) con Faraday y Maxwell, el primero descubrió con sus experimentos todos los fundamentos encerrados en la electricidad y el magnetismo y, al no saber exponerlo matemáticamente, tuvo que llegar Maxwell que, con sus ecuaciones vectoriales nos dejara una demostración fundamental del electromagnetismo.

Faraday                                                    Maxwell

Los críticos consideran tan la demostración al estilo griego que su inexistencia en las culturas no europeas desacredita, en su opinión, miles de años de trabajos matemáticos. Claro que, en este punto, no todos estamos de acuerdo y, por mi creo que los pueblos no occidentales sí tenían sus demostraciones, mientras que otros dudan de que sea realmente posible “demostrar” cualquier concepto para toda la eternidad y para la totalidad del Universo. Es cierto que eterno…no hay nada pero, en todo el Universo será válida la ecuación E = mc², de la misma manera que 2 + 2 = 4. Hay cosas que ni el Tiempo ni las distancias pueden variar.

La numeración egipcia (escrita) permitía la representación de números mayores que un millón. Utilizaban un sistema aditivo de decimal con jeroglíficos específicos para la unidad y una de las seis primeras potencias de 10.

En la figura podemos ver los símbolos usados para 1, 10, 100 y 1.000. El 10.000 se representaba con un dedo doblado, el 100.000 con un pez y 1.000.000 mediante una figura humana de rodillas y con los brazos alzados.

En un principio escribían los nueve primeros números colocando símbolos de la unidad, uno a continuación de otro; más tarde utilizaron la representación por desdoblamiento mientras los arameos de Egipto usaban un principio ternario (ver tabla).

La nunmeración y sus símbolos fueron variados según los pueblos

El escepticismo es oportuno en toda investigación, pero quien investigue las matemáticas no occidentales se enfrenta a menudo con un gran obstáculo. Expertos que han estudiado los sistemas de numeración de la antigua Etiopía, cuentan que los expertos occidentales se negaron en una ocasión a aceptar que esta civilización africana hubiera desarrollado sus propios números. Los números etíopes se parecen a los números egipcios, que son anteriores, y, en menor medida, a los antiguos números griegos –lo cual no es sorprendente, dada, por una la proximidad geográfica de Etiopía con Egipto y, por otra , la influencia que ejerció Egipto en las matemáticas griegas.

Una serie de cartas escritas por algunos etíopes a personajes griegos y encontradas en Grecia estaban escritas en los dos lenguajes para que las entendieran y, a pesar de ello, algunos “expertos” dudaban que los etíopes hubieran sido capaces de tal sofisticación. Sin embargo, los análisis químicos demostraron que la empleada tenía un color no habitual y los análisis químicos demostraron que la tinta se había fabricado a partir de unas bayas autóctonas de Etiopía.

Nuestro patrimonio matemático y nuestro orgullo occidentales dependen irremediablemente de los logros de la antigua Grecia. Dichos logros se han exagerado tanto que a resulta difícil distinguir qué part3e de la matemática moderna procede de los griegos y cuál es la que su origen en los babilonios, los egipcios, los hindúes, los chinos, los árabes, etc. Sin embargo, si nuestras actuales se basaran exclusivamente en Pitágoras, Euclides, Demócrito, Arquímedes y otros griegos, serían una disciplina bastante deficiente.

En 1908, el historiador de las matemáticas, Rouse Ball escribió:

“La historia de las matemáticas no se puede remontar ciertamente a ninguna ni a ningún período que sean anteriores a la etapa de los griegos jónicos”.

 

Matemáticas de Mesopotamia                                       Matemática Babilónica

 

Matemáticas de la India                                                     Matemáticas de Egipto

Hoy sabemos que el hombre se extralimitó al ponerle fecha al conocimiento matemático del mundo humano que, como ahora sabemos, viene desde muy lejos en el Tiempo. Aunque las huellas no todas han sobrevivido, si aparecieron tablillas y otros objetos que contenían la prueba de que nuestros antepasados de Mesopotamia, Babilonia,  India, Egipto… y otros fueron los precursores de la posterior matemática griega.

                 En 1952 el historiador Morris Kline escribió:

“Fue en el extraordinariamente propicio suelo de Gracia donde [las matemáticas] garantizaron finalmente una nueva forma de controlar la existencia humana y florecieron espectacularmente durante un breve período de tiempo… Con el declive de la civilización griega la planta quedó aletargada durante unos mil años… [hasta que] esa planta fue llevada de una manera adecuada a Europa y plantada una vez más en el terreno fértil”

 

De un modo esquemático, se interpreta a menudo el significado de esta afirmación entendiendo que ha habido tres etapas de la de las matemáticas:

1. 1.   Hacia el año 600 a. C., los antiguos griegos inventaron las matemáticas, que estuvieron desarrollando hasta aproximadamente el año 400 d. C., en el cual desaparecieron de la faz de la Tierra.
2. 2.   A esto siguió un período oscuro para las matemáticas, que duró más de mil años. Algunos expertos admiten que los árabes mantuvieron vivas las matemáticas griegas durante toda la Edad Media.
3. 3.   En la Europa del siglo XVI se produce el redescubrimiento de las matemáticas griegas que vuelven a florecer de hasta el momento actual.

Claro que este punto de es muy discutible. Nuestros números modernos -del 0 al 9- se desarrollaron en la India (como ha quedado reseñado en escritos expuestos aquí en tiempos pasados) durante la segunda etapa, el llamado período oscuro de las matemáticas. Las matemáticas existían ya mucho antes de que los griegos construyeran su primer ángulo recto.

Rouse Ball, desconocía las primeras matemáticas hindúes contenidas en los Sulbasutras (las reglas de la cuerda). Escritos en alguna comprendida entre los años 800 y 500 a. C., los Silbasutras demuestran, entre otras cosas, que los indios de este período tenían su propia versión del teorema de Pitágoras así como un procedimiento para obtener la raíz cuadrada de 2 con una precisión de hasta cinco cifras decimales. Los Sulbasutras ponen de manifiesto la existencia de un rico conocimiento geométrico que fue muy a los griegos.

Otro experto nos dice que, la afirmación de Kline es más problemática, ya que ignora un rico conjunto de matemáticas no europeas que fueron desenterradas hacia mediados del siglo XX, incluidas las matemáticas de Mesopotamia, Egipto, China, la India, el mundo árabe y la América precolombina. También existe el problema de los propios griegos –Demócrito, Aristóteles, Heródoto- prodigaron alabanzas a los egipcios, reconociéndolos como sus gurús matemáticos (aunque con distintas palabras). El hecho cierto es que, antes que los griegos fueron muchos los que aportaron su matemático para que ahora nosotros, sepamos de esa imprescindible y necesaria disciplina que nos sirve para construir puentes, para diseñar veloces trenes, para poder calcular las trayectorias de las naces espaciales que van hacia Marte, o, simplemente, para saber cómo funcionan las leyes de la Naturaleza, los átomos que conforman la materia e incluso, saber sobre densidades y energías en las estrellas.

Repasando todos estos hechos, de alguna manera, podemos llegar a entender aquel “Todo es número” de los pitagóricos.

“Relaciona los números imaginarios ( i = raíz cuadrada de ( –1)), con las potencias (número e y logaritmos neperianos ) y con las funciones trigonométricas. Nos la podemos encontrar en cualquier sitio, en cualquier expresión matemática pura o relacionada con algo tan prosaico como las relaciones de impedancias en un circuito de corriente alterna. En la función de onda de la mecánica cuántica o en cualquier expresión de naturaleza ondulatoria o periódica. En la técnica, en la física o en las matemáticas más abstractas ( Roger Penrose reflexiona– en su último libro, en el capítulo sobre las diferenciales complejas – lo que habría disfrutado Euler con todas las maravillas de su fórmula y de los números imaginarios ).”

                                    La más famosa fórmula de Euler. Hay veces en la que no tenemos más opción que asombrarnos de lo que puede discurrir la mente humana. Sobre esta fórmula mágica, alguien dijo:

“Si una aburrida noche de invierno decidieran acudir a un restaurante de las Matemáticas y pidieran una paella con “un poco de todo” o, más precisamente, “un poco de todo lo importante”, probablemente les llevarían a la mesa la ecuación del título. Ésta, a pesar de tratarse de una pura tautología, es muy conocida en la comunidad científica por su simplicidad y casi sobrenatural completitud: contiene en una sola línea de elementos de lo más diverso y de cierta relevancia en la historia de las Matemáticas.”

                   Leonhard Euler

Está claro que este breve comentario no pretende ser la Historia de las matemáticas que, para ser un fiel reflejo de la realidad, tendría que estar contada en muchos volúmenes llenos de explicaciones, hallazgos y anécdotas y hechos que nos llegaron a través de los descubrimientos realizados a lo largo del tiempo. Sin embargo, si es un apunte interesante de lo que pudo ser. Para cerrar el trabajo he querido traer aquí una fórmula mágica, es debida a Leonhard Euler, nacido en Basilea en el año 1707. Una mente prodigiosa  que deslumbraba desde su más tierna juventud en diversas disciplinas, especialmente en Matemáticas. Le llamaron el Rey Midas de las matemáticas.

Fue el precursor de la utilización de la letra  para denotar la base de los logaritmos neperianos.

Popularizó la utilización de la letra  para denotar la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.

Introdujo la notación  para .

Utilizó la letra  para designar a su constante.

Notación sobre lados y ángulos y otras notaciones sobre triángulos.

• Otras notaciones en análisis. Euler también introdujo la notación moderna de las funciones trigonométricas, el símbolo  para denotar un sumatorio y  para denotar logaritmo de .

• Funciones. Uno de los aportes más importantes (posiblemente el que más) de Euler a la notación matemática fue la utilización de  (usada en los Commentarii de San Petersburgo en 1734-35) como forma para denotar al valor de una función  al aplicarla a un valor .

Como se puede ver las matemáticas posteriores a Euler no habrían sido las mismas sin las notaciones que nuestro protagonista introdujo, ya que éstas simplificaron de manera significativa la forma de escribir matemáticas.

En el campo de las llamadas Matemáticas Puras, Euler creó de golpe y de manera extraordinaria varias nuevas disciplinas de investigación, apartes de las ya mencionadas, y las desarrolló metódicamente: la teoría de las series infinitas, el álgebra superior y el cálculo de variaciones. Asimismo, Euler determinó, investigando la serie armónica, la constante de su nombre, siendo la más sencilla de las series infinitas que dan el valor de ella:  e = 1 + 1/1! + 1/2! + …

                   La Poesía y la Música han sido eternas compañeras

“Podemos volar hacia el mundo de la poesía y de la música y, nos encontramos cara a cara con la cantidad y el número, en sus ritmos y octavas,…”

Alfred North Whitehead.

emilio silvera