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Los habitantes de este mundo hemos, hemos conseguido construir un cuadro plausible del Universo, de la Naturaleza que tratamos de comprender. Hemos llegado a ser conscientes de que, en ella, en la Naturaleza, están todas las respuestas que buscamos y, nosotros mismos no hemos llegado a conocernos por ese mismo hecho de que, formando parte de la Naturaleza, también somos parte del enigma que tratamos de desvelar.

Parece que ahora estamos entrando en la edad adulta, quiero significar que después de siglos y milenios de esporádicos esfuerzos, finalmente hemos llegado a comprender algunos de los hechos fundamentales del Universo, conocimiento que, presumiblemente, es un requisito de la más modesta pretensión de nuestra maduirez cosmológica.

Sabemos, por ejemplo, dónde estamos, que vivímos en un planeta que gira alrededor de una estrella situada en el borde de la Galaxia espiral a la que llamamos Vía Láctea, cuya posición ha sido determinada con respecto a varios cúmulos vecinos que, en conjunto, albergan a unas cuarenta mil galaxias extendidas a través de un billón de años-luz cúbicos de espacio.

También sabemos más o menos, cuando hemos entrado en escena, hace unos cinco mil millones de años que se formaron el Sol yn los planetas de nuestro Sistema Solar , en un Universo en expansión que probablemente tiene una edad entre dos y cuatro veces mayor. Hemos determinado los mecanismos básicos de la evolución de la Tierra, hallado prueba también de evolución química a escala cósmica y hemos podido aprender suficiente física como para comprender e investigar la Naturaleza en una amplia gama de escalas desde los Quarks saltarines en el “mundo” microscópico hasta el vals de las galaxias.

El Tiempo inexorable nunca dejó de fluir y mientras eso pasaba, nuestra especie evolucionaba, aprendia al obervar los cielos y cómo y por qué pasaban las cosas. Hay realizaciones humanas de las que, en verdad, podemos sentirnos orgullosos. Aquellos habitantes de Sumer y Babilonia, de Egipto o China y también de la India y otros pueblos que dejaron una gran herencia de saber a los Griegos que pusieron al mundo occidental en el camino de la ciencia, nuestra medición del pasado se ha profundizado desde unos pocos miles de años a más de diez mil millones de años, y la del espacio se ha extendido desde un cielo de techo bajo no mucho mayor que la distancia que nos separa de la Luna hasta el radio de más de diez mil millones de años-luz del universo observable.

Tenemos razones para esperar que nuestra época sea recordada (si por ventura queda alguien para recordarlo) por sus contribuciones al supremo tesoro intelectual de toda la Humanidad unida al contexto del Universo en su conjunto por unos conocimientos que, aunque no suficiente, sí son los necesarios para saber dónde estamos y, ahora, debemos buscar la respuesta a esa pregunta: ¿Hacia dónde vamos?

                        Claro que, el futuro es incierto

Como en la física, en el mundo y en nuestras vidas, también está presente el principio de incertidumbre y, de ninguna manera, podemos saber del mañana. Sin embargo, cuanto más sabemos del universo, tanto más claramente comprendemos lo poco que sabemos de él. La vastedad del Universo nos lleva a poder comprender algunas estructuras cósmicas y mecanismos que se producen y repiten como, el caso de la destrucción que nos lleva a la construcción. Es decir, una estrella masiva vieja explota y siembre el Caos y la destrucción en una extensa región del espacio, y, es precisamente ese hecho el que posibilita que, nuevas estrellas y nuevos mundos surgan a la vida. Sin embargo, la grandeza, la lejanía, esa inmensidad que se nos escapa a nuestra comprensión terrestre, nunca nos dejará comprender el universo en detalle y, siendo así, siempre tendremos secretos que desvelar y misterios que resolver.

Si añadimos a todo eso  que, si poseyésemos un atlas de nuestra propia Galaxia y que dedicase una sóla página a cada sistema estelar de la Vía Láctea (de modo que el Sol y sus planetas estuviesen comprimidos en una página), tal atlas tendría más de dies mil millones de volúmenes de dies mil páginas cada uno. Se necesitaria una biblioteca del tamaño de la de Harvard para alojar el Atlas, y solamente ojearlo al ritmo de una página por segundo nos llevaría más de diez mil años. Añádance los detalles de la cartografía planetaria, la potencial biología extraterrestre, las sutilezas de los principios científicos involucrados y las dimensiones históricas del cambio, y se nos hará claro que nunca aprenderemos más que una diminuta fracción de la historia de nuestra Galaxia solamente, y hay cien mil millones de galaxias más.

Sabiendo todo todo esto, siendo consciente de que, realmente, es así, tendremos que convenir con el físico  Lewis Thomas cuando dijo: “El mayor de todos los logros de la ciencia del siglo XX ha sido el descubrimiento de la ignorancia humana”.

La ignorancia, como todo en el Universo, es relativa. Nuestra ignorancia, por supuesto, siempre ha estado con nosotros, y siempre seguirá estando, es una compañera con la que cargamos toda nuestra vida y que nos pesa. Algunos procuramos que pese lo menos posible para hacer más llevadero el viaje. Lo nuevo está en nuestras consciencias y de ellas, ha surgido nuestro despertar al comprender de sus abismales dimensiones, y es eso más que otro cosa, lo que señala la madurez de nuestra especie. El espacio puede tener un horizonte y el tiempo un final pero la aventura del aprendizaje siempre será interminable y eterno, quizá (no me he parado a pensarlo) pueda ser esa la única forma de eternidad que pueda existir.

La ciencia tiene límites. Foto CC-BY Galería de NASA Goddard Photo and Video.

La dificultad de explicarlo todo no se debe a nuestra debilidad mental, sino a la estructura misma del universo. En los últimos siglos hemos descubierto que la trama del cosmos puede abordarse en varios niveles diferentes. Mientras no se descubre el siguiente nivel, lo que ocurre en el anterior no se puede explicar, sólo puede describirse. En consecuencia, para el último nivel que se conoce en cada momento nunca hay explicaciones, sólo puede haber descripciones.

La Ciencia es intrínsicamente abierta y exploratoria, y comete errores todos los días. En verdad, ese será siempre su destino, de acuerdo con la lógica esencial del segundo teorema de incompletitud de Kurt Gödel. El teorema demuestra que la plena validez de cualquier sistema, inclusive un sistema científico, no puede demostrarse dentro del sistema. Es decir, tiene que haber algo fuera del marco de cualquier teoría para poder comprobarla. La lección que podemos haber aprendido es que, no hay ni habrá nunca una descripción científica completa y comprensiva del universo cuya validez pueda demostrarse.

    No es que pertenezcamos al Universo, formamos parte de él

Y, a todo esto, debemos alegrarnos de que así sea, de que no podamos comprender el Universo en toda su inmensa dimensión y diversidad. Nuestras mentes necesitan que así sea y, tendrán, de esa manera, el escenario perfecto para seguir creciendo a medida que busca todas esas rrespuestas que nos faltan y, lo bueno del caso es que, cada respuesta que encontramos, viene acompañada de un montón de nuevas preguntas y, de esa manera, esa historia interminable de nuestra aventuira del saber…llegará hasta la eternidad de nuestro tiempo que, necesariamente, no tiene por que ser el tiempo del universo.

Emilio Silvera V.

         Ludwig Boltzmann será el protagonista de hoy

Hay ecuaciones que son aparentemente insignificantes por su reducido número de exponentes que, sin embargo, ¡dicen tántas cosas…! En la mente de todos están las sencillas ecuaciones de Einstein y de Planck sobre la energía-masa y la radiación de cuerpo negro. Esa es la belleza de la que hablan los físicos cuando se refieren a “ecuaciones bellas”.

                       Maxwell

Las ecuaciones de Maxwell…,  “y se hizo la luz”

La identidad de Euler: Algunos dijeron de su ecuación: “la expresión matemática más profunda jamás escrita”, “misteriosa y sublime”, “llena de belleza cósmica”, “una explosión cerebral”.

Newton y su segunda ley que, aunque no funcione cuando nos acercamos a velocidades relativistas, rompió la marcha hacia la Gravedad.

Pitágoras y “su” teorema, también debe estar presente como lo está su teorema en las construcciones de todo el mundo y… mucho más.

Schrödinger y su función de onda que tampoco se queda atrás (aunque como la ecuación de Newton, si hablamos de velocidades relativistas…)

Bueno, E = mc², nos lleva a profundidades de la materia antes jamás vistas y nos permite sacar conclusiones como que, en un  gramo de materia está encerrada toda la energía consumida por la Humanidad durante un minuto. ¡Masa y Energía son la misma cosa!

Einstein, con esa ecuación de arriba de la relatividad general, vino a cambiar el mundo y, a partir de entonces, nació la verdadera cosmología. ¡Nos habla de tántas cosas!

¿Qué decir de la maravillosa fórmula de la entropía de Boltzman?

S = k log W

Creo que hoy, hablaremos de ella. Boltzman con su trabajo e ingenio,  le dio a la Humanidad la herramienta para que pudiera seguir avanzando en el difícil laberinto de la Cienca, fue,  sin duda, uno de los físicos más ilustres del siglo XIX.

El trabajo científico desarrollado por Boltzmann en su época crítica de transición que puso el colofón a la física “clásica” –cuya culminación podríamos situar en Maxwell– y antecedió (en pocos años) a la “nueva” física, que podemos decir que comenzó con Max Planck y Einstein. Aunque ciertamente no de la importancia de los dos últimos, la labor científica de Boltzmann tiene una gran relevancia, tanto por sus aportaciones directas (creador junto con “su amigo” Maxwell y Gibbs de la mecánica estadística, aunque sea el formulismo de éste último el que finalmente haya prevalecido; esclarecedor del significado de la entropía, etc.) como por la considerable influencia que tuvo en ilustres físicos posteriores a los que sus trabajos dieron la inspiración, como es el caso de los dos mencionados, Planck y Einstein.

Boltzmann fue un defensor a ultranza del atomismo, polemizando sobre todo con Mach y Ostwald, antiatomistas partidarios de la energética y claros exponentes de la corriente idealista de la física alemana. Tuvo que abandonar su ambiciosa idea de explicar exactamente la irreversibilidad en términos estrictamente mecánicos; pero esta “derrota”, no ocultaré que dolorosa desde el punto de vista personal, le fue finalmente muy productiva, pues de alguna manera fue lo que le llevó al concepto probabilista de la entropía. Estas primeras ideas de Boltzmann fueron reivindicadas y extendidas, en el contexto de la teoría de los sistemas dinámicos inestables, sobre todo por la escuela de Prigogine, a partir de la década de 1970.

La personalidad de Boltzmann era bastante compleja. Su estado de ánimo podía pasar de un desbordante optimismo al más negro pesimismo en cuestión de unas pocas horas. Era muy inquieto; él decía – medio en serio, medio en broma – que eso se debía a haber nacido en las bulliciosas horas finales de los alegres bailes del Martes de Carnaval, previas a los “duelos y quebrantos” (entonces) del Miércoles de Ceniza.

Ludwig Boltzmann and co-workers in Graz, 1887. (standing, from the left) Nernst, Streintz, Arrhenius, Hiecke, (sitting, from the left) Aulinger, Ettingshausen, Boltzmann, Klemenčič, Hausmanninger

Su lamentable final, su suicidio en Duino (Trieste) el 5 de septiembre de 1906, muy probablemente no fue ajeno a esa retorcida personalidad, aunque su precaria salud física fue seguramente determinante a la hora de dar el trágico paso hacia el lado oscuro.

Uno de los problemas conceptuales más importantes de la física es cómo hacer compatible la evolución irreversible de los sistemas macroscópicos (el segundo principio de la termodinámica) con la mecánica reversible (las ecuaciones de Hamilton o la ecuación de Schrödinger) de las partículas (átomos o moléculas) que las constituyen. Desde que Boltzmann dedujo su ecuación en 1872, este problema ha dado lugar a muy amplios debates, y el origen de la irreversibilidad es, aún hoy en día, controvertido.

En una de sus primeras publicaciones, Boltzmann obtuvo en 1866 una expresión de la entropía, que había sido definida un año antes por Clausius, basado en conceptos mecánicos. Las limitaciones de este trabajo eran que su aplicación se restringía al estudio de los gases y que el sistema era periódico en el tiempo. Además, Boltzmann no pudo deducir de su definición de entropía la irreversibilidad del segundo principio de la termodinámica de Clausius. En 1868, basándose en las ideas probabilísticas de Maxwell, obtuvo la distribución de equilibrio de un gas de partículas puntuales bajo la acción de una fuerza que deriva de un potencial (distribución de Maxwell-Boltzmann).

En el Universo, considerado como sistema cerrado, la entropía crece y…

En 1.872 publicó la denominada ecuación de Boltzmann para cuya deducción se basó, aparentemente, en ideas mecánicas. Esta ecuación contiene, sin embargo, una hipótesis no mecánica (estadística) o hipótesis del caos molecular, que Boltzmann no apreció como tal, y cuya mayor consecuencia es que, cualquiera que sea la distribución inicial de velocidad de un gas homogéneo diluido fuera del equilibrio, ésta evoluciona irreversiblemente hacia la distribución de velocidad de Maxwell. A raíz de las críticas de Loschmidt (paradoja de la reversibilidad) y Zermelo (paradoja de la recurrencia), Boltzmann acabó reconociendo el carácter estadístico de su hipótesis, y en 1877 propuso una relación entre la entropía S de un sistema de energía constante y el número de estados dinámicos W accesibles al sistema en su espacio de fases; esto es, la conocida ecuación S = k_B ln W, donde k_B es la constante de Boltzmann. En esta nota, se hace una breve descripción de la ecuación de Boltzmann y de la hipótesis del caos molecular.

Distintas materias, distintas fuerzas de cohesión molecular.

            El comportamiento de los gases siempre dio a los físicos en qué pensar

La ecuación de Boltzmann describe la evolución temporal de un gas diluido de N partículas puntuales de masa m contenidas en un volumen V que interaccionan a través de un potencial de par central repulsivo V(r) de corto alcance a. Como simplificación adicional, considérese que sobre las partículas no actúan campos externos. Si f₁(r,v,t) indica la densidad de partículas que en el tiempo t tienen un vector de posición r y velocidad v, que está normalizada en forma:

∫dr ∫dvƒ₁(r,v,t) = N

Su evolución temporal es la suma de dos contribuciones. En ausencia de interacción, las partículas que en el tiempo t tienen vector de posición r y velocidad v se encuentran, después de un intervalo de tiempo Δt, en r + v Δt y tiene la misma velocidad. Como

f₁(r + vΔt,v,t + Δt) = f₁(r,v,t)

en el límite Δt → 0 (2) se escribe:

∂₁ f₁(r,v,t) = – v∂_r f₁(r,v,t)

Que es una ecuación invariante bajo el cambio t → – t y v → – v. La evolución es, por tanto, mecánica.

Se cumplieron más de cien años desde la muerte de Boltzmann y su trabajo sigue siendo recordado. No pienso que Boltzmann creyera en la existencia real de los átomos, pero sí en su utilidad e incluso en su necesidad para comprender las leyes macroscópicas y la evolución irreversible de los fenómenos macroscópicos desde una base más fundamental que el nivel fenomenológico. Pero había quien (con autoridad) no creía ni en la existencia ni en su utilidad. Este debate no era ajeno a las tendencias ideológicas, religiosas y usos sociales de aquella época porque, en general, la ciencia es parte de la cultura y depende del momento histórico que viven los científicos, al fin y al cabo, seres humanos como los demás, influenciables por su entorno en una gran medida.

Por el siglo XIX, e incluso antes, ya se hablaba de “átomos”* y una rudimentaria teoría cinética de los gases gozaba de aceptación y utilidad científica (recordemos los trabajos de Benoulli, Dalton, Laplace, Poisson, Cauchy, Clausius, Krönig… y Maxwell). Pero fue Boltzmann quien definitivamente profundizó en la cuestión, para el estudio del equilibrio y, sobre todo, intentando explicar mecánicamente (mecano-estadísticamente) la evolución termodinámica irreversible y la descripción de los procesos de transporte ligados a ella. Y, nuevamente (por su enorme importancia) no podemos dejar de mencionar la muy singular labor que hicieron Gibbs, Einstein, Planck, Fermi y otros. Sin la motivación ideológica de Boltzmann, Gibbs elaboró una bellísima, útil y hoy dominante formulación (cuerpo de doctrina) de la termodinámica y física estadística.

  Lorentz

Fue Lorentz quien primero utilizó la ecuación de Boltzmann y lo hizo para describir la corriente eléctrica en sólidos dando un paso significativo por encima del pionero Drude. Lorentz introdujo un modelo opuesto al browniano donde partículas ligeras como viento (electrones) se mueven chocando entre sí y con árboles gordos (tales como iones en una red cristalina); un modelo del que se han hecho estudios de interés tanto físico como matemático. Enskog (inspirándose en Hilbert) y Chapman (inspirándose en Maxwell) enseñaron cómo integrar la ecuación de Boltzmann, abriendo vías a otras diversas aplicaciones (hidrodinámica, propagación del sonido, difusión másica, calor, fricción viscosa, termoelectricidad, etc.). Recordemos que Boltzmann encontró como solución de equilibrio de su ecuación una distribución de velocidades antes descubierta por Maxwell (hoy, como reseñé anteriormente, de Maxwell-Boltzmann), por lo que concluyó que así daba base microscópica mecánica (teorema H mecano-estadístico) al segundo principio de la termodinámica (estrictamente, evolución de un sistema aislado hacia su “desorden” máximo).

El físico austríaco Ludwig Boltzmann sentó las bases estadísticas de la entropía, su trabajo fue tan importante que el gran físico Max Planck sugirió que su versión de la fórmula de Boltzmann fuera grabada en la lápida de Boltzmann de Viena.

Está claro que ningún físico que se precie de serlo puede visitar la capital de Viena sin dar una vuelta por el parque Zentralfriedhof para ver la tumba de Boltzmann. Yo sí me pasé por allí. Me senté junto a la tumba; el lugar estaba desierto, y cerrando los ojos traté de conectar con la conciencia del genio. La sensación, extraña y agradable, seguramente fue creada por mi imaginación, pero creo que charlé con él en el interior de mi mente –la fuerza más potente del universo– y aquellos sentimientos, aquel momento, compensaron el esfuerzo del viaje.

En la tumba, sobre una gran lápida de mármol de color blanco con los nombres Ludwig Boltzmann y de los familiares enterrados con él, sobre el busto de Boltzmann, se puede leer la inscripción, a modo de epitafio:

En esta breve ecuación se encierra la conexión entre el micromundo y el macromundo, y por ella se reconoce a Boltzmann como el padre de la rama de la física conocida como mecánica estadística. Esta sencilla ecuación es la mayor aportación de Boltzmann y una de las ecuaciones más importantes de la física. El significado de las tres letras que aparecen (aparte la notación del logaritmo) es el siguiente:

• S es la entropía de un sistema.
• W es el número de microestados posibles de sus partículas elementales.
• k es una constante de proporcionalidad que hoy recibe el nombre de Constante de Boltzmann, de valor 1’3805 × 10^-23 J/K (si el logaritmo se toma en la base natural).

En definitiva, la ecuación describe la estrecha relación entre la entropía (S) y las miles de formas de partículas que en un sistema se pueden arreglar (k log W). La última parte es difícil. K es la constante de Boltzmann y W es el número de elementos microscópicos de un sistema (por ejemplo, el impulso y la posición de los átomos individuales de gas) en un sistema macroscópico en un estado de equilibrio (por ejemplo, el gas de sellado en una botella). Parece que la naturaleza ama el caos cuando empuja a los sistemas hacia el desequilibrio y Boltzmann le llamó entropía a este fenómeno.

El día que podamos entender todo lo que es y significa el cerebro humano (y, seguramente otros muchos en el Universo), tendremos todas las respuestas a nuestro alcance. Una estructura que se crea de manera expontánea por evolución partiendo de la “materia inerte”… ¿Qué maravilla es esa? ¿Cómo pudo pasar?

Cuando profundizamos un poco en lo que el cerebro humano ha sido capaz de generar, los pensamientpos que ha llegado a generar bien sea en forma de ecuaciones matemáticas o expresados con palabras, no podemos dejar de sorprendernos y maravillarnos al ver que, ¡todo el universo parece estar dentro de nuestras mentes! ¿Qué secretos se encierran allí? ¿Cómo nos lleva a estos pensamientos tan profundos?

Como todas las ecuaciones sencilla de gran trascendencia en la física (como la famosa E = mc²), hay un antes y un después de su formulación: sus consecuencias son de un calado tan profundo que cambiaron la forma de entender el mundo, y en particular, de hacer física a partir de ellas. De hecho, la sutileza de la ecuación es tal que hoy, cien años después de la muerte de su creador, se siguen investigando sus nada triviales consecuencias. Creo que lo mismo ocurrirá con α = 2πe²/ħc que, en tan reducido espacio y con tan pocos símbolos, encierra los misterios del electromagnetismo (el electrón), de la constante de Planck(la mecánica cuántica), y de la luz (la relatividad de Einstein), todo ello enterrado profundamente en las entrañas de un número: 137.

Bueno, a pesar de todo lo anterior, Schrödinger nos decía:

“La actitud científica ha de ser reconstruida, la ciencia ha de rehacerse de nuevo”

 No será nada extraordinario que dentro de cien años, muchas de las creencias que ahora marcan nuestras teorías, sean ideas viejas que han tenido que ser renovadas por otras nuevas fórmulas que surgirán a partir de nuevos descubrimientos.

 

¡Lo grande y lo pequeño! ¡Son tantos los secretos de la Naturaleza!

Siempre hemos tenido consciencia de que en física, había que buscar nuevos paradigmas, nuevos caminos que nos llevaran más lejos. Es bien conocida la anécdota de que a finales del siglo XIX un destacado físico de la época, William Thomson (1824-1907) conocido como Lord Kelvin, se atrevió a decir que solo dos pequeñas “nubecillas” arrojaban sombras sobre el majestuoso panorama de conocimiento que había construido la física clásica desde Galileo y Newton hasta ese momento: el resultado del experimento de Michelson-Morley, el cual había fallado en detectar la existencia del supuesto éter luminífero; y la radiación del cuerpo negro, y la incapacidad de la teoría electromagnética clásica de predecir la distribución de la energía radiante emitida a diferentes frecuencias por un radiador idealizado llamado cuerpo negro. Lo que Lord Kelvin no puedo predecir es que al tratar de disipar esas dos “nubecillas”, la física se vería irremediablemente arrastrada a una nueva física: la física moderna fundada sobre dos revoluciones en ciernes: la revolución relativista y la revolución cuántica con dos  científicos como protagonistas: Planck y Albert Einstein. Sin embargo, ha pasado un siglo y seguimos con esas dos únicas guías para continuar el camino y, resultan insuficientes para llegar a la meta que… ¡Está tan lejos!

Emilio Silvera V.